Определяется средняя квадратичная погрешность результата серии измерений

Задается значение надежности a;

Определяется коэффициент Стьюдента ta (n) для выбранной надежности a и числа проведенных измерений n;

Находятся границы доверительного интервала

Dх = ta (n)×Sa

Если величина погрешности результата измерений (п.9) окажется сравнимой с величиной d погрешности прибора, то в качестве границы доверительного интервала следует взять величину

.

Записать окончательный результат

X = a ± Dx ;

Оценить относительную погрешность результата серии измерений

ε = .

Обработка результатов измерений диаметра цилиндра

Микрометром было сделано десять замеров диаметра цилиндра. Цена деления микрометра 0,01 мм. Определить диаметр цилиндра с надежностью a = 0,95 и a = 0,99. Оценить влияние числа замеров на точность получаемого результата.

аi: 14,85; 14,80; 14,84; 14,81; 14,79;

14,81; 14,80; 14,85; 14,84; 14,80.

Для первых пяти измерений определим среднеарифметическое значение и границы доверительного интервала. Для удобства расчетов выберем произвольное число ао удобное для расчетов (ао = 14,80 мм) и определим разности (аi - ао) и квадраты этих разностей. Результаты сведены в таблицу.

Найдем среднее значение а и среднеквадратичное отклонение Sа:

а - ао = 0, 018 мм;

( мм2 );

( мм ).

Для надежности a = 0,95 и n = 5 ta = 2,78. Абсолютная погрешность измерения Dх:

Dх = ta× Sа = 2,78 × 0,0116 = 0,0322 мм.

Результат измерения можно представить в виде

(14,818 - 0,032) мм £ а £ (14,818 + 0,032) мм

или сохраняя в величине погрешности одну значащую цифру

(14,82 - 0,03) мм £ а £ (14,82 + 0,03) мм,

т.е. 14,79 мм £ а £ 14,85 мм или а = (14,82 ± 0,03) мм.

Относительная погрешность

εа = .

Теперь найдем абсолютную и относительную погрешность этих измерений при a = 0,99.

В этом случае ta = 4,60. Тогда

Dх = ta×Sa = 4,60×1,16×10-2 = 5,34×10-2 ( мм ).

Следовательно а = (14,82 ± 0,05) мм

εа = .

Видно, что с увеличением надежности границы доверительного интервала возросли, а точность результата уменьшилась.

Проведем расчет погрешностей для этих же пяти измерений, незаконно полагая, что s2 = S2n (что при n = 5 ошибочно). Для этого используем распределение Гаусса (а не Стюарта). При a = 0,95 ka = .

Это дает возможность определить

Dх = ka×Sa = 1,96×1,16×10-2 » 2×10-2 ( мм ),

т.е. погрешность получилась меньше примерно на 30%. Если по этой величине погрешности определить величину надежности при ta = ka, то из таблицы коэффициентов Стьюдента получим a < 0,90 вместо заданной a = 0,95. Следовательно при малом числе измерений n применение закона нормального распределения с s2 = S2n вместо распределения Стьюдента приводит к уменьшению надежности результата измерений.

Найдем средние значения и погрешности следующих пяти измерений

ао = 14, 80 мм;

а = ао + ( мм );

а - ао = 0, 02 мм;

( мм2 );

Sa = 1, 05×10-2 мм.

При a = 0,95:

Dх = ta×Sa = ± 2,78×1,05×10-2 = 2,92×10-2 ( мм );