Поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно, то неизвестны и истинные случайные ошибки хi. Для определения средней квадратичной ошибки S используется положение теории случайных ошибок, что при большом числе измерений n справедливо равенство

.

Различный знаменатель объясняется тем, что величины хi являются независимыми, а из n величин Vi независимыми являются n-1, т.к. в величину Vi входит а, само определяемое из этих же n измерений.

Важно, что не зная самих истинных случайных ошибок удается вычислить среднюю квадратичную ошибку определенного измерения:

S = ±.

Оценим теперь погрешность результата всей серии эксперимента, т.е. определим величину Dх = Х - а.

Для этого проведем преобразование выражения

Sn2 =

=

= .

Если повторить серии по n измерений в каждой N раз, можно получить средние значения а1, а2, . , аN и погрешности результатов измерений

(Dх)1 = (Х - а1); (Dх)2 = (Х - а2); . ; (Dх)N = (Х - аN)

и среднюю среднеквадратичную погрешность серии

Sa2 = .

При большом числе N S2a ® s2a

.

Усредняя выражение S2n по числу серий N, получаем

Sa2 = (Dx)2 = Sn2 - .

Учитывая что при большом n S2n ® s2 и S2 ® s2 получаем искомую

связь между дисперсиями всего опыта s2a и отдельного эксперимента [i1] s2

,

т.е. дисперсия s2a результата серии из n измерений в n раз меньше дисперсии отдельного измерения. При ограниченном числе n измерений приближенным выражением s2a будет S2a

.

Выражения s2a и S2a отражают фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Из него следует, что желая повысить точность измерений в 2 раза мы должны сделать вместо одного - четыре измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число измерений в 9 раз и т.д.

Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности

Как установлено ранее, истинное значение измеряемой величины Х отличается от среднеарифметического a на некоторую величину Dx. На рис. 2 представлено расположение истинного значения Х и а, полученного из некоторых измерений а1, а2, а3.

Ясно, что случайные величины а1, а2, а3 обусловят случайный характер абсолютной погрешности Dx результата серии измерений, которая будет распределена по закону Гаусса:

.

Рис. 2. Взаимное расположение Х и а, полученных

из трех измерений а1, а2, а3

Тогда вместо выражения Х = а ± Dх можно записать а - Dх £ Х £ а + D.

Интервал (а - Dх; а + Dх), в который по определению попадает истинное значение X называют доверительным интервалом. Надежностью (уровнем значимости) результата серии измерений называется вероятность a того, что истинное значение X измеряемой величины попадет в доверительный интервал. Вероятность a выражается в долях единицы или процентах. Графически надежность отражается площадью под кривой нормального распределения в пределах доверительного интервала, отнесенной к общей площади. Выбор надежности определяется характером производимых измерений. Например, к деталям самолета предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному мотору, а к последнему значительно больше, чем к ручной тачке. При обычных измерениях ограничиваются доверительной вероятностью 0,90 или 0,95. Для любой величины доверительного интервала (выраженного в долях s ) по формуле Гаусса может быть просчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления проделаны и сведены в таблицу, имеющуюся практически во всей литературе по теории вероятности. На рис. 3 представлены значения надежности a при величине доверительного интервала ±s, ±2s, ±3s. Эти значения доверительной вероятности рекомендуется запомнить.

По рис. 3 видно, что величина абсолютной погрешности Dx может быть представлена в виде К×sа, где К некоторый численный коэффициент, зависящий от надежности a. Однако это справедливо лишь для большого (бесконечного) числа n. При малых n этим коэффициентом пользоваться нельзя, т.к. величина sа неизвестна. Для того, чтобы получить оценки границ доверительного интервала при малом n вводится новый коэффициент ta. Этот коэффициент предложен английским математиком и химиком В.С. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом ² Стьюдент ².

Рис. 3. Значения надежности a при различных значениях Dx/s

И коэффициент ta назвали коэффициентом Стьюдента. Коэффициент Стьюдента отражает распределение случайной величины t = при различном n. При n®¥ ( практически при n ³ 20 ) распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение. Значения коэффициента Стьюдента также приводятся практически во всей литературе по теории вероятности.

Зная величину ta можно определить величину абсолютной погрешности Dх = t×Sa . Следует отметить, что величина абсолютной погрешности еще не определяет точность измерений. Точность измерений характеризует относительная погрешность, равная отношению абсолютной погрешности Dx результата измерений к результату измерений а: ε = ± Dх / а. .

Обнаружение промахов

Если в ряду измерений встречаются результаты, резко отличающиеся от большей части ряда, то возникает вопрос принадлежности ² выскакивающих ² значений этому ряду измерений. Большие ошибки имеют малую вероятность возникновения. Поэтому следует объективно оценить, является ли данное измерение промахом ( тогда его исключают из ряда ) или же это результат случайного, но совершенно закономерного отклонения. Можно считать каждое измерение промахом, если вероятность случайного появления такого значения является достаточно малой.

Если известно точное значение s, то вероятность появления значения, отличающегося от среднеарифметического а более чем на 3s £ 0,003 и все измерения, отличающиеся от а на 3s ( и больше ) могут быть отброшены, как маловероятные.