Это закон Дюлонга и Пти, только вместо полного числа колебаний 3lN стоит число колебаний акустических ветвей 3N. (При высоких температурах на каждое колебание приходится средняя энергия kBT, полное число акустических колебаний равно 3N, поэтому вклад акустических ветвей в энергию равен 3NkT).

В пределе низких и высоких температур модель Дебая дает точные значения для вклада акустических ветвей в энергию и теплоемкость. В области же промежуточных температур, T~θ, эта модель лишь аппроксимирует реальную зависимость энергии и теплоемкости от температуры.

Температура Дебая разделяет две температурные области. В области низких температур на энергию и теплоемкость решетки сильное влияние оказывают квантовые эффекты (''вымерзание'' высокочастотных колебаний). В области высоких температур эти эффекты не существенны, и теплоемкость может быть вычислена в классическом приближении. Для большинства кристаллов температура Дебая лежит в интервале от 100 до 300K.

Чтобы получить полную энергию и теплоемкость кристаллической решетки, надо к вкладу акустических колебаний прибавить вклад оптических ветвей, для которого хорошим приближением является модель Эйнштейна. Этот вклад пренебрежимо мал при низких температурах. При высоких температурах вклады всех ветвей в энергию и теплоемкость равны.

Экспериментальные методы исследования закона дисперсии фононов

Наиболее мощный метод исследования закона дисперсии фононов — комбинационное рассеяние разного типа частиц (волн) на колебаниях кристаллической решетки. Это неупругое рассеяние: частица (волна), взаимодействуя с колебаниями решетки, меняет не только направление движения, но и энергию (частоту).

Рассмотрим комбинационное рассеяние света. Пусть на кристалл падает пучок монохроматического света с волновым вектором и частотой (рис. 7).

Если исследовать спектр света, рассеянного кристаллом в определенном направлении, то в простейшем случае он будет иметь вид, изображенный на рис. 8.

Помимо высокого центрального пика, расположенного на частоте падающего света Ω0 (упругое рассеяние), появляются еще два сателлита, сдвинутых влево и вправо на частоту длинноволнового оптического фонона ω:

Левый пик называют стоксовым, правый — антистоксовым.

Изменение частоты при рассеянии невелико, т. к. частота оптического фонона меньше частоты света в десятки раз. Действительно, характерная энергия кванта света, ħΩ0, равна 1 эВ, а энергия оптического фонона по нашей оценке (см.) составляет около 50 мэВ.

Если в кристалле имеется несколько ветвей оптических фононов, то в спектре комбинационного рассеяния будет наблюдаться несколько пар сателлитов.

Частоты, на которых располагаются линии спектра рассеянного света являются ''комбинациями'' частоты падающего света Ω0 и частоты фонона ω. Из-за этого рассеяние и называется комбинационным.

Впервые эффект комбинационного рассеяния был экспериментально обнаружен и объяснен Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштамом в 1928 г.; в экспериментах использовались кристаллы кварца и исландского шпата. В том же году Ч. В. Раман обнаружил комбинационное рассеяние в жидкостях, поэтому эффект комбинационного рассеяния также называют эффектом Рамана, а рассеяние — рамановским. В 1930 г. Раману за обнаружение комбинационного рассеяния была присуждена Нобелевская премия.

Комбинационное рассеяние наблюдается не только в твердых телах. Например, при рассеянии на молекулах газа сдвиг линий комбинационного рассеяния будет определятся частотой колебаний атомов в молекуле. Если у молекулы несколько колебательных степеней свободы, то в спектре рассеянного излучения будет наблюдаться несколько линий.

Возникает вопрос: почему при комбинационном рассеянии на кристалле получаются столь узкие пики (линии) излучения? Ведь оптические фононы имеют дисперсию и их частоты занимают достаточно широкий непрерывный интервал? Дело в том, что свет, рассеиваемый в данном направлении, взаимодействует только со строго определенным колебанием решетки. Проще всего показать это, описывая рассеяние на квантовом языке, хотя тот же результат можно получить и в рамках классической физики.

В квантовой механике каждой волне соответствует квазичастица (а частице — волна). Электромагнитному полю соответствуют фотоны, колебаниям решетки — фононы.

Явление комбинационного рассеяния заключается в том, что фотон падающего на кристалл света либо испускает фонон (стоксов процесс), либо поглощает его (антистоксов процесс). Эти процессы можно проиллюстрировать соответствующими фейнмановскими диаграммами (рис. 9).

Энергия и импульс должны сохраняться, т. е. при рассеянии импульс и энергия фотона уменьшается (стоксов процесс) или увеличивается (антистоксов процесс) на импульс и энергию фонона соответственно.

Фотон падающего на кристалл света имеет энергию ħΩ0 и импульс , рассеянный фотон — энергию ħΩ и импульс . Энергия и импульс фонона равны ħω и , где ω – частота, а — волновой вектор фонона.

Таким образом: