Фонон

Здесь \rho(\cal E)— плотность состояний фононов. Напомним, что \rho(\cal E)d\cal E— это число состояний квазичастиц (фононов) в единице объема с энергиями от \cal Eдо \cal E+d\cal E, т. е. число различных колебаний с такими энергиями.

Суммарная плотность состояний складывается из плотности состояний разных ветвей: \rho(\cal E)=\sum_j\rho_j(\cal E); плотность состояний ветви определяется ее законом дисперсии \omega_j(\vec{k}). Аналитически получить законы дисперсии и плотности состояний фононов реальных кристаллов практически невозможно.

Однако при низких температурах энергия и теплоемкость определяются длинноволновыми акустическими фононами. Плотность состояний акустических фононов нам известна, мы получили ее в качестве примера, когда вводили само понятие плотности состояний (). Если для j-й акустической ветви ω = sj|k|, то

\rho_j(\cal E)=\frac{\cal E^2}{2\pi^2\left(s_j\hbar\right)^3}

(55)

Плотность состояний длинноволновых колебаний всех акустических ветвей получается суммированием по трем акустическим ветвям:

\rho(\cal E)=\frac{\cal E^2}{2\pi^2\hbar^3}\sum_j \frac{1}{s_j^3}= \frac{3\cal E^2}{2\pi^2(s\hbar)^3},

(56)

где s — ''усредненная'' скорость звука:

\frac{3}{s^3}=\sum_{j=1}^3 \frac{1}{s_j^3}

(57)

Линейный закон дисперсии ω = s|k| и соответствующая плотность состояний верны только для малых k. При б\'ольших значениях волнового вектора закон дисперсии и плотность состояний имеют более сложный вид.

Однако при низких температурах вклад в энергию и теплоемкость вносят как раз только длинноволновые фононы, а при высоких температурах вид плотности состояний не важен, т. к. в этом случае на каждое колебание приходится энергия kT. Чтобы получить выражение, которое давало бы правильные предельные зависимости при низких и высоких температурах, Дебай предложил считать, что закон дисперсии ω = s|k| выполняется и при больших k. Максимальное значение волнового вектора kD при этом выбирается так, чтобы в шаре радиуса kD содержалось столько разрешенных значений волновых векторов, сколько их содержится в зоне Бриллюэна, N = 1/v0. Иными словами, объем этого шара должен быть равен объему зоны Бриллюэна (2π)3/v0, откуда

k_D^3=6\pi^2N=\frac{6\pi^2}{v_0}

(58)

Таким образом, сохраняя число акустических колебаний, мы заменяем первую зону Бриллюэна сферой, а реальный закон дисперсии — линейным. Фонон с волновым вектором kD имеет энергию \cal E_D=\hbar sk_D=(6\pi^2N)^{1/3}\hbar s. Соответствующая \cal E_Dтемпература,

\theta=\frac{\cal E_D}{k_B}=(6\pi^2N)^{1/3}\frac{\hbar s}{k_B},

(59)

называется температурой Дебая.

В таком приближении мы можем вычислить вклад акустических ветвей в энергию и теплоемкость решетки:

E=\int_0^{\cal E_D} \cal E\cdot \bar{n}(\cal E)\cdot \rho(\cal E) d\cal E= \int_0^{\cal E_D}\frac{\cal E}{\exp(\frac{\cal E}{k_BT})-1}\cdot\frac{3\cal E^2 d\cal E}{2\pi^2s^3\hbar^3}=

 

=\frac{3k_B^4T^4}{2\pi^2s^3\hbar^3}\int_0^{\theta/T}\frac{x^3 dx}{e^x-1}

(60)

При низких температурах, T<<θ, верхний предел интеграла много больше единицы. Благодаря экспоненте в знаменателе интеграл сходится очень быстро, что позволяет положить верхний предел равным бесконечности. Значение такого интеграла известно:

\int_0^{\infty}\frac{x^3 dx}{e^x-1}=\frac{\pi^4}{15}

(61)

Для энергии акустических колебаний при низких температурах получаем:

E=\frac{\pi^2}{10} \frac{k_B^4T^4}{s^3\hbar^3}= \frac{3\pi^4}{5} Nk_BT\left(\frac{T}{\theta}\right)^3,

(62)

откуда следует, что теплоемкость решетки при низких температурах пропорциональна T3:

C_V=\frac{dE}{dT}=\frac{2\pi^2}{5} \frac{k_B^4T^3}{s^3\hbar^3}= \frac{12\pi^4}{5} Nk_B\left(\frac{T}{\theta}\right)^3

(63)

При высоких температурах, T>>θ, верхний предел интегрирования мал, поэтому можно считать, что exp(x)–1≈ x, таким образом:

\int_0^{\theta/T}\frac{x^3 dx}{e^x-1}\approx \frac{1}{3} \left(\frac{\theta}{T}\right)^3

(64)

E = 3NkT

(65)


Страница: