Фонон

Рассмотренные нами колебания одномерной цепочки называют акустическими, поскольку при k→ 0 (λ→∞) они соответствуют звуковым волнам.

Ниже мы увидим, что в цепочке с двумя (и более) атомами в элементарной ячейке наряду с акустическому могут распространяться волны другого типа.

При квантовомеханическом описании каждому колебанию соответствует квазичастица с импульсом p = ħ k и энергией {\cal E}=\hbar\omega. Квазичастицы, соответствующие упругим колебаниям кристаллической решетки называются фононами. Фононы, соответствующие акустическим колебаниям, также называются акустическими.

Оценим максимальную энергию акустического фонона в одномерной цепочке:

{\cal E}=\hbar\omega\sim 10^{-27}\cdot 10^{14}=10^{-13} {\rm эрг}\approx 0.05 {\rm эВ}

(21)

Экспериментальные значения ħωmax в реальных кристаллах составляют 30÷ 40 мэВ.

Эта величина намного меньше большинства характерных электронных энергий (~ 1 эВ) и близка к тепловой энергии при комнатной температуре (kBT≈ 0.025эВ, здесь kB – постоянная Больцмана).

Одномерная цепочка с двумя атомами в примитивной ячейке

Исследуем теперь колебания цепочки, элементарная ячейка которой состоит из двух атомов с разными массами: M1 и M2, для определенности положим M1<M2. Период цепочки (расстояние между узлами ее решетки Браве) как и прежде обозначим через a (рис. 3). Для простоты будем считать, что ''пружинки'' соединяющие атомы имеют одинаковую жесткость γ.

Рис. 3. Одномерная цепочка с двумя атомами в примитивной ячейке и ее решетка Браве.

Запишем закон Ньютона для двух атомов n-й ячейки:

M_1\frac{d^2u_n}{dt^2} = \gamma(v_{n+1}-u_n)-\gamma(u_n-v_n)=\gamma(v_{n+1}+v_n-2u_n)

     

M_1\frac{d^2v_n}{dt^2} = \gamma(u_n-v_n)-\gamma(v_n-u_{n-1})=\gamma(u_n+u_{n-1}-2v_n)

   

(22)

Здесь un и vn — смещения соответственно маленького и большого атома n-й ячейки из положения равновесия.

Будем, как и в случае цепочки с одним атомом в примитивной ячейке, искать решение в виде плоской гармонической волны:

u_n=Ae^{i(kx_n-\omega t)}

     

v_n=Be^{i(kx_n-\omega t)}

   

(23)

Амплитуды колебаний маленького и большого атомов A и B в общем случае разные как по абсолютной величине, так и по фазе.

После подстановки (23) в (22) получим линейную однородную систему уравнений для A и B:

–M1ω2A

=

γ(Beika+B–2A)

 

–M2ω2B

=

γ(A+Ae–ika–2B)

(24)

Перепишем ее в стандартном виде:

\begin{array}{rcrcc} (2\gamma-M_1\omega^2)A&-&\gamma(e^{ika}+1)B&=&0\\ \gamma(e^{-ika}+1)A&+&(2\gamma-M_2\omega^2)B&=&0 \end{array}

(25)

Такая система имеет решения лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю. Приравнивая нулю определитель (25) получим уравнение, связывающее ω и k, т. е. дисперсионное уравнение:

M1M2ω4 – 2γ(M1+M2)ω2+2γ2(1–cos ka) = 0

(26)

Это уравнение удобно переписать, использую приведенную массу атомов примитивной ячейки μ:

\frac{1}{\mu} = \frac{1}{M_2}+\frac{1}{M_1} = \frac{M_2+M_1}{M_1M_2}

(27)

\omega^4-2\frac{\gamma}{\mu}\omega^2+\frac{4\gamma^2}{M_1M_2}\sin^2\frac{ka}{2}=0

(28)

Его решения имеют вид:

\omega^2=\frac{\gamma}{\mu}\pm\sqrt{\frac{\gamma^2}{\mu^2}-\frac{4\gamma^2}{M_1M_2}\sin^2\frac{ka}{2}}

(29)

или

\omega^2=\frac{\gamma}{\mu}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{4\mu^2}{M_1M_2}\sin^2\frac{ka}{2}}\right)

(30)

Величина 4μ2/(M1M2) при любых M1, M2 не превосходит единицы, поэтому подкоренное выражение всегда неотрицательно.

Итак, для каждого волнового вектора k существуют две частоты ω, удовлетворяющие дисперсионному уравнению. Точнее, есть две непрерывные функции ω(k), которые отличаются знаком перед корнем. Говорят, что существуют две ветви колебаний.

Исследуем обе ветви.

Напомним, что волновые вектора, отличающиеся на вектор обратной решки, описывают одно и то же колебания. (Вследствие этого функция ω(k) периодична с периодом обратной решетки 2π/a, а в трехмерном случае обладает трансляционной симметрией обратной решетки). Поэтому мы считаем, что волновой вектор лежит в пределах первой зоны Бриллюэна: –π/a<k<π/a.


Страница: