ПЛАН:

1. Кристаллическая решётка и её колебания.

1.1 Одномерная цепочка с одним атомом в примитивной ячейке.

1.2 Одномерная цепочка с двумя атомами в примитивной ячейке.

1.3 Трёхмерный кристалл.

2. Понятие о фононах.

2.1 Энергия колебаний и теплоёмкость кристаллической решётки.

2.2 Модель Эйнштейна.

2.3 Модель Дебая.

2.4 Экспериментальные методы исследования закона дисперсии фононов.

3. Литература.

1. Кристаллическая решётка, её колебания.

Кристаллическая структура — равновесное состояние системы атомов, отвечающее минимуму потенциальной энергии. В состоянии покоя сумма сил, действующих на каждый атом кристалла со стороны других атомов, равна нулю.

Если вывести эту систему из положения равновесия, в кристалле возникнут сложные колебания. Эти колебания, в частности, всегда имеются при конечной температуре, когда кристаллическая структура обладает определенной (тепловой) энергией, т.е. не находится в состоянии статического равновесия.

Рассмотрим колебания решетки в рамках классической механики.

При смещении атома относительно других атомов кристалла возникает сила, стремящаяся вернуть его в равновесное положение. Если смещения невелики, мы можем разложить зависимость силы от смещений в ряд и ограничится линейными по смещениям членами. Тогда колебания кристаллической решетки будут линейными, т. е. будут описываться системой линейных дифференциальных уравнений.

Такая система уравнений обладает важным свойством: если есть несколько решений, то их сумма также является решением, т. е. сумма двух возможных колебаний — тоже колебание.

Эта система может быть решена, если известна зависимость силы, действующей на атом, от его смещения, а основные характеристики линейных колебаний могут быть предсказаны на основании одних только свойств симметрии кристалла.

Чтобы показать главные черты линейных колебаний кристаллической решетки, мы рассмотрим простейший случай одномерного кристалла — одномерную цепочку атомов.

Одномерная цепочка с одним атомом в примитивной ячейке

Рассмотрим одномерную периодическую цепочку атомов — одномерный кристалл с одним атомом в элементарной ячейке. Пусть период этой цепочки равен a. Тогда в состоянии равновесия координата n-го атома цепочки xn равна na.

Обозначим через un смещение n-го атома из положения равновесия. Будем считать, что атомы взаимодействуют только с ближайшими соседями. Сила, с которой (n+1)–й атом действует на n-й зависит от разности смещений этих двух атомов un+1–un. При небольших смещениях эту силу можно считать пропорциональной разности смещений: Fn,n+1 = γ(un+1–un), где γ — коэффициент пропорциональности. Удобно представить, что атомы связаны друг с другом пружинками с жесткостью γ.

На рис. 1 пружинка между n-м и n+1 -м атомами растянута, так что она действует на n-й атом в положительном направлении. Растянутая пружинка между n–1-м и n-м атомом действует на n-й атом в отрицательном направлении: Fn,n–1 = –γ(xn–xn–1).

Запишем закон Ньютона для n-го атома цепочки:

Первое слагаемое в правой части — сила, действующая на n-й атом со стороны n+1-го атома, второе — сила, действующая со стороны n–1-го.

После упрощения получим:

Система таких уравнений, записанных для каждого атома, полностью описывает колебания цепочки.

Если рассматривать только длинноволновые колебания, т. е. колебания с длиной волны много большей периода цепочки a, то можно заменить разность un+1–un на (∂ un/∂ x)a, а величину, стоящую в правой части (2) — на γ a2(∂2 u/∂ x2). В результате получим волновое уравнение

решением которого являются волны u = Aexp(ikx–iω t) с линейным законом дисперсии ω = s|k| (звуковые волны). Здесь s — скорость звука:

Но мы решим задачу точно, т. е. рассмотрим колебания со всеми возможными длинами волн.

Будем искать колебания, зависящие от времени по гармоническому закону:

Здесь ω — частота колебаний, одна и та же для всех атомов (такие колебания называются гармоническими). Cn — комплексная амплитуда колебаний n-го атома. Напомним, что колебания описывает вещественная часть (5), но технически удобно пользоваться комплексным решением.

Такая подстановка — стандартный метод решения линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами. В силу линейности уравнений, колебание с произвольной временн\'ой зависимостью может быть разложено в интеграл (ряд) Фурье по гармоническим колебаниям.

Из (2) для амплитуды Cn получаем уравнение:

Эти уравнения образуют бесконечную систему линейных уравнений. Если применить к цепочке граничные условия Борна-Кармана, то система будет конечной. (Заметим, что условия Борна-Кармана в одномерном случае эквивалентны тому, что цепочка достаточно большой длины L замкнута в кольцо). Тогда, приравняв определитель нулю, можно найти частоты колебаний, а затем, решив систему уравнений для каждой из найденных частот — соответствующие амплитуды.

Но мы поступим иначе. Будем искать решение в виде плоской волны: