Фонон

Решение со знаком ''минус''

В точке k = 0:

\omega^2(0)=\frac{\gamma}{\mu}-\sqrt{\frac{\gamma^2}{\mu^2}} = 0

(31)

На границе зоны Бриллюэна:

\omega^2\left(\frac{\pi}{a}\right)=\frac{\gamma}{\mu}-\sqrt{\frac{\gamma^2}{\mu^2}-\frac{4\gamma^2}{M_1M_2}} = \frac{2\gamma}{M_2}

(32)

При ka<< 1 (длинные волны):

ω2(k)

≈

\frac{\gamma}{\mu}\left[1-\sqrt{1-\frac{4\mu^2}{M_1M_2}\left(\frac{ka}{2}\right)^2}\right] \approx

 
 

≈

\frac{\gamma}{\mu}\left[1-\left(1-\frac{2\mu^2}{M_1M_2}\left(\frac{ka}{2}\right)^2\right)\right] =

 
 

=

\frac{2\mu\gamma}{M_1M_2}\left(\frac{ka}{2}\right)^2 =

 
 

=

a^2\frac{\gamma}{2(M_1+M_2)} k^2,

(33)

другими словами

\omega(k)\approx a\sqrt{\frac{\gamma}{2(M_1+M_2)}} |k| = s |k|, s=a \sqrt{\frac{\gamma}{2(M_1+M_2)}}

(34)

Мы видим, что в длинноволновом пределе закон дисперсии этой ветви линеен, т. е., как и в случае цепочки с одним атомом в примитивной ячейке, описывает акустические колебания. По этой причине вся ветвь (решение со знаком ''–'') называется акустической (рис. 4).

Рис. 4. Закон дисперсии колебаний цепочки с двумя атомами в примитивной ячейке.

Выражение для скорости звука имеет такой же вид, что и соответствующее выражение для цепочки с одним атомом в ячейке (20) и зависит от тех же макроскопических характеристик: линейной плотности и упругой постоянной цепочки:

s=\sqrt{\frac{\gamma\cdot a/2}{(M_1+M_2)/a}}

(35)

Линейная плотность двухатомной цепочки равна (M1+M2)/a, а упругая постоянная — γ· a/2 (т. к. длина одной пружинки в наших обозначениях равна a/2).

Это и неудивительно. Мы уже видели, изучая цепочку с одним атомом в примитивной ячейке, что длинноволновые акустические колебания можно получить, рассматривая цепочку, как непрерывную упругую среду. Атомы ячейки при таких колебаниях движутся вместе, как единое целое, поэтому структура примитивной ячейки не играет роли, а важны лишь макроскопические, усредненные характеристики цепочки.

То, что атомы ячейки при длинноволновых акустических колебаниях движутся вместе, можно получить и непосредственно, решив систему (25). Эта система разрешима, когда ее определитель равен нулю, а определитель равен нулю, когда ω и k связаны законом дисперсии. При этом уравнения системы уже не являются независимыми, и мы можем взять любое из них, чтобы найти отношение амплитуд A и B.

Из первого уравнения системы (25) получаем:

\frac{B}{A}=\frac{2\gamma-M_1\omega^2}{\gamma(e^{ika}+1)},

(36)

откуда в пределе длинноволновых акустических колебаний (k→ 0, ω = s |k|→ 0) следует B/A→ 1, т. е. A = B: атомы движутся в фазе с одинаковыми амплитудами.

Рис. 5. Амплитуды атомов цепочки в случае длинноволновых акустических колебаний.

Отметим также, что на границе зоны Бриллюэна групповая скорость ∂ω/∂ k равна нулю. Это утверждение справедливо для обеих ветвей колебаний.

Решение со знаком ''плюс''.

В точке k = 0:

\omega^2(0)=\frac{\gamma}{\mu}+\sqrt{\frac{\gamma^2}{\mu^2}} = \frac{2\gamma}{\mu}

(37)

На границе зоны Бриллюэна:

\omega^2\left(\frac{\pi}{a}\right)=\frac{\gamma}{\mu}+\sqrt{\frac{\gamma^2}{\mu^2}-\frac{4\gamma^2}{M_1M_2}} = \frac{2\gamma}{M_2}

(38)

Групповая скорость этой ветви ∂ω/∂ k равна нулю как на границе зоны Бриллюэна, так и при k = 0.

Эта ветвь целиком лежит выше акустической ветви: ее минимальная частота \sqrt{2\gamma/M_1}больше максимальной частоты акустических колебаний \sqrt{2\gamma/M_2}. Таким образом, в цепочке могут распространяться волны в частотами от 0 до \sqrt{2\gamma/M_2}и от \sqrt{2\gamma/M_1}до \sqrt{2\gamma/\mu}. Интервал частот (\sqrt{2\gamma/M_2},\sqrt{2\gamma/M_1})является ''запрещенной зоной'': волн с такими частотами не существует. Относительная ширина этого интервала тем больше, чем больше отношение масс M2/M1.


Страница: