,

где , , .

4. (41)

где ;

; ; .

5. , т.е.

, (44)

где (),

, (45)

или

6. (46)

Функция Вейерштрасса , (48)

так что .

Функция Вейерштрасса определяется с помощью равенства

.

Из этой формулы следует и

где путь интегрирования не проходит ни через одну вершину сетки периодов, отличную от точки .

§4. О некоторых применениях теории конформного

отображения к краевым задачам.

а) Об структурном классе интегральных представлений.

Как известно, интегральное представление аналитических функций ИПАФ давно служит:

– как удобный аппарат для обозримого представления аналитических решений дифференциальных уравнений. Например, специальные функции – функции Бесселя, Эйри, Лежандра, Лагера, Эрмита, многочлены Чебышева, гипергеометрическая функция и многие другие – являются решениями линейных дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами;

– для исследования ассимптотики этих решений и их аналитического продолжения;

– несколько позже – нашли применения для решения граничных задач теории аналитических функций и сингулярных уравнений;

– исследование внутренних и граничных свойств аналитических функций различных классов, а также для решения других, самых разнообразных вопросов математического анализа (интегралы Коши, Пуассона, Шварца, Чизотти и т.п.)

Обширный класс интегральных представлений аналитических функций, используемых для получения и исследования аналитических решений дифференциальных уравнений (АРДУ), описывается общей формулой:

(49)

где - ядро типа Шварца, зависящее от связности данной области, - аналитическая функция, регулярная и однозначная в (n+1) – связной канонической круговой области , - заданная плотность – вещественная функция в точках , контура круговой области .

Вещественные и комплексные таковы, что :

, , (, ). (50)

По заданным интегральным представлениям (49) можно найти аналитическое решение дифференциальных уравнений (АРДУ) для произвольных областей плоскости , ограниченную замкнутыми кривыми типа Ляпунова. (Существует касательная в каждой точке , , , - угол между касательными; кривая замкнута и ограничена).

Используя интегральные представления Чизотти, мы получим решение задачи Дирихле для области и интегральные формулы Пуассона для :

(51)

. (52)

Из (52) получим:

.

где

,