, (24)

решающую поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем, что в ней и переменились местами, так что ядро интеграла (4) отличается от ядра интеграла Пуассона (1) только знаком.

Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду (22), представляющей ее вне окружности:

. (25)

Если в (25) ®, то получим теорему Гаусса для внешности окружности:

, (26)

т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть среднее арифметическое значений на граничной окружности.

г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.

Аналитический аппарат, позволяющий гармоническую функцию внутри верхней полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной оси, можно получить из интеграла Пуассона путем преобразования круга плоскости на верхнюю полуплоскость при помощи функции

Граничные значения на окружности перейдут в граничные значения на вещественной оси и мы получим искомую формулу в виде [1]:

, () (27)

При неточных графических расчетах формулу (27) удобнее употреблять в ином виде, взяв за переменную интегрирования не , а угол , который образует прямая с перпендикуляром к оси , опущенным из точки , имеем:

,

и окончательно имеем:

. (28)

д) Задача Дирихле для кругового кольца.

Граничные значения гармонической функции на окружности кольца мы будем предполагать заданными в форме функций от полярного угла и обозначим их соответственно через и .

Сопряженная с гармоническая функция будет вообще говоря, не однозначной, и фкп будет состоять из двух слагаемых: однозначной составляющей, могущей быть разложенной в ряд Лорана в кольце, и логарифм с вещественным коэффициентом:

, . (29)

Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так просто.

Существует более компактная и эффективная формула – интегральная формула Вилля для кругового кольца [2], [3].

§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле

для кругового кольца (1912).

Пусть в плоскости комплексного переменного дано круговое кольцо , ограниченное окружностями

, ,

где заданное положительное число <1.

Требуется найти регулярную и однозначную внутри области функцию , если известны значения ее вещественной части на границах кольца.

Для случая круга аналогичная задача решается известной формулой Шварца Г. (1869г) (п.1)

, (, ),

где с – действительная переменная.

Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение точки на окружности определяется аргументом этой точки, так что представляет значение вещественной части искомой функции в точке .

Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы, аналогичной формуле (1).

Обозначим через и значения вещественной части искомой функции в точках с аргументом на внешней, соответственно внутренней, границе .