Страница
5
Ряд известных математиков пытались доказать, что этот постулат на самом деле является теоремой, т. е. его можно вывести из четырех других. Но все их попытки оказались неудачными. Они так или иначе неявно предполагали тот же самый пятый постулат. Например, в той форме, что сумма углов треугольника равна двум прямым. Великий математик К. Гаусс первый поставил под сомнение возможность такого доказательства, т. е. признал, что постулат является аксиомой и, следовательно, его можно заменить другими аксиомами, построив новую геометрию. Но он на это не осмелился.
И лишь Н.И. Лобачевский в России, Б. Риман в Германии и Я. Больяй в Венгрии построили новые геометрии, отбросив пятый постулат и заменив его на другие. Б. Риман заменил его на аксиому, что через точку, лежащую вне данной прямой на плоскости, нельзя провести ни одной параллельной, все они будут пересекаться с данной. Н.И. Лобачевский и Я. Больяй допустили, что существует множество прямых, которые не пересекутся с данной.
Для пояснения отличия этих геометрий возьмем пространство двух измерений, поверхность. Евклидова геометрия реализуется на плоскости, Римана — на поверхности сферы, на которой прямая линия выглядит как отрезок дуги большого круга, центр которого совпадает с центром сферы. Геометрия Лобачевского осуществляется на так называемой псевдосфере. Так как пространство имеет три измерения, то для каждой геометрии вводится понятие кривизны пространства. В евклидовой геометрии кривизна нулевая, у Римана — положительная, у Лобачевского—Больяя — отрицательная.
Поскольку постулат параллельности эквивалентен положению о сумме углов треугольника, то различие этих геометрий наглядно изображается на рисунке. В геометрии Евклида сумма углов треугольника равна 180°, у Римана — она больше, у Лобачевского — меньше. (Рис. 3, а, б, в соответственно).
Рис. 3.
Под кривизной пространства не нужно понимать искривление плоскости наподобие того, как искривлена поверхность евклидовой сферы, где внешняя поверхность отлична от внутренней. Изнутри ее поверхность выгладит вогнутой, извне — выпуклой. Если же брать плоскость в пространстве Лобачевского или Римана, обе ее стороны являются совершенно одинаковыми. Просто внутренняя структура плоскости такова, что мы измеряем ее с помощью некоторого коэффициента "кривизны". Кривизна пространства понимается в науке как отступление его метрики от евклидовой, что точно описывается в языке математики, но не проявляется каким-то наглядным образом.
Риман впоследствии показал единство и непротиворечивость всех неевклидовых геометрий, частным случаем которых является геометрия Евклида.
Создатели геометрий Лобачевский и Риман считали, что только физические эксперименты могут показать нам, какова геометрия нашего мира. Эйнштейн в общей теории относительности сделал геометрию физической экспериментальной наукой, которая подтвердила характер пространства Римана. Здесь опять призовем на помощь мысленный эксперимент. Представим себе, что лифт покоится в отсутствие гравитационного поля (см. рис. 4, а). В стене лифта сделано отверстие А, через которое луч света падает на его противоположную сторону. Линия АВ — прямая. Пусть теперь лифт начинает движение вверх с ускорением §, т. е. 9,8 м/с2. За время, пока свет проходит расстояние между стенками, лифт смещается вверх, и луч света попадает уже не в точку В, а в точку С (см. рис. 4, б).
Рис. 4.
Линия АС сохраняет свойство быть кратчайшим расстоянием между двумя точками, но это будет уже не прямая, а прямейшая или геодезическая. На Земле, поверхность которой представляет собой сферу, такие линии и называются геодезическими. Общая теория относительности заменяет закон тяготения Ньютона новым уравнением тяготения. Закон Ньютона получается как предельный случай эйнштейновских уравнений. Рассчитанное теоретически Эйнштейном отклонение луча света было впоследствии экспериментально подтверждено наблюдениями во время солнечного затмения, когда луч света от звезды проходит вблизи поля тяготения Солнца.
В общей теории относительности Эйнштейн доказал, что структура пространства—времени определяется распределением масс материи. Когда корреспондент американской газеты "Нью-Йорк Тайме" спросил Эйнштейна в апреле 1921 г., в чем суть теории относительности, он ответил: "Сугь такова: раньше считали, что если каким-нибудь чудом все материальные вещи исчезли бы вдруг, то пространство и время остались бы. Согласно же теории относительности вместе с вещами исчезли бы и пространство, и время".
1.3. Свойства пространства и времени
Какие же основные свойства пространства и времени мы можем указать? Прежде всего пространство и время объективны и реальны, т. е. существуют независимо от сознания людей и познания ими этой объективной реальности. Человек все более и более углубляет свои знания о ней. Однако в истории науки и философии существовал и другой взгляд на пространство и время — как только субъективных всеобщих форм нашего созерцания.
Согласно этой точке зрения, пространство и время не присущи самим вещам, а зависят от познающего субъекта. В данном случае преувеличивается относительность нашего знания на каждом историческом этапе его развития. Эта точка зрения отстаивается сторонниками философии И. Канта.
Пространство и время являются также универсальными, всеобщими формами бытия материи. Нет явлений, событий, предметов, которые существовали бы вне пространства или вне времени. У Гегеля высшей реальностью является абсолютная идея, или абсолютный дух, который существует вне пространства и вне времени. Только производная от абсолютной идеи природа развертывается в пространстве.
Важным свойством пространства является его трехмерность. Положение любого предмета может быть точно определено только с помощью трех независимых величин — координат. В прямоугольной декартовой системе координат это — X, У, Z., называемые длиной, шириной и высотой. В сферической системе координат — радиус-вектор r и углы a и b (3. В цилиндрической системе — высота г, радиус-вектор и угол а.
В науке используется понятие многомерного пространства (и-мерного). Это понятие математической абстракции играет важную роль. К реальному пространству оно не имеет отношения. Каждая координата, например, 6-мерного пространства может указывать на какое-то любое свойство рассматриваемой физической реальности: температуру, плотность, скорость, массу и т. д. В последнее время была выдвинута гипотеза о реальных 11 измерениях в области микромира в первые моменты рождения нашей Вселенной: 10 — пространственных и одно — временное. Затем из них возникает 4-мерный континуум {лат. сопйпишп — непрерывное, сплошное).
В отличие от пространства, в каждую точку которого можно снова и снова возвращаться (и в этом отношении оно является как бы обратимым), время — необратимо и одномерно. Оно течет из прошлого через настоящее к будущему. Нельзя возвратиться назад в какую-либо точку времени, но нельзя и перескочить через какой-либо временной промежуток в будущее. Отсюда следует, что время составляет как бы рамки для причинно-следственных связей. Некоторые утверждают, что необратимость времени и его направленность определяются причинной связью, так как причина всегда предшествует следствию. Однако очевидно, что понятие предшествования уже предполагает время. Более прав поэтому Г. Рейхенбах, который пишет: "Не только временной порядок, но и объединенный пространственно-временной порядок раскрываются как упорядочивающая схема, управляющая причинными цепями, и, таким образом, как выражение каузальной структуры вселенной".