Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрияРефераты >> Математика >> Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия
Решение:
|
Дано: , угол . Найти: . |
Треугольник ABC – равнобедренный, т.к. AB=AC=R. Найдем BC по теореме косинусов: . , т.к. АК – высота треуг-ка АВС, следовательно, . Из прямоугольного треуг-ка АВК: . , где ОН=r. Из прямоугольного треуг-ка АОН: , значит, ответ: .
Задача 23.
Решить уравнение: .
Решение:
ОДЗ:.
Применяя формулы понижения степени, приведем это уравнение к более простому виду: , ,
.
Отсюда, используя формулу преобразования суммы косинусов в произведение, получаем: ,
,
.
Рассмотрим 2 случая:
1. ;
2. , следовательно, используя вновь формулу преобразования суммы косинусов в произведение, имеем:
a) ;
b) .
Таким образом, учитывая ОДЗ, получаем
Ответ: .
Задача 24.
Решить уравнение: .
Решение:
ОДЗ: .
Введем новую переменную, положив t = tg x. Так как , то уравнение примет вид: или . Число 2 является корнем полученного уравнения, поэтому это уравнение можно преобразовать следующим образом: . Сократим на (t-2). Квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: решений нет.
Задача 25.
Решить уравнение: .
Решение:
Преобразуем уравнение следующим образом:
.
Рассмотрим 2 случая:
1. ;
2. ;
Ответ: .
Задача 26.
Решить систему:
Решение:
Каждое из уравнений этой системы является простейшим, поэтому нетрудно заметить, что
Решая последнюю систему, получаем
Ответ: .
Задача 27.
Решить задачу: Основания трапеции 5 дм и 40 см. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Решение:
|
Пусть ABCD – трапеция, точка Р – середина диагонали АС, точка К – середина диагонали BD. |
Нетрудно заметить, что точки Р и К лежат на средней линии EF трапеции. Так как ЕК – средняя линия треугольника ABD, то . Аналогично, , поскольку является средней линией треугольника АВС. Следовательно, .
Ответ: 17.5 см.
Задача 28.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана , проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
|
Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСК. При этом . По свойству параллелограмма сумма его диагоналей равна сумме его сторон. Поэтому из равенства получаем |
Ответ: .
Задача 29.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана , проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
Воспользуемся формулой .
Ответ: .
Задача 30.
Решить задачу: Несколько рабочих выполняют работу за 14 дней. Если бы их было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 час больше, то та же работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их было еще на 6 человек больше и каждый работал бы еще на 1 час в день больше, то эта работа была бы сделана за 7 дней. Сколько было рабочих, и сколько часов в день они работали?
Решение:
Пусть w - число рабочих, х – число часов их работы в день. Пусть вся работа равна единице, а у – производительность (в час) каждого рабочего.