Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрияРефераты >> Математика >> Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия
Рассмотрим 3 случая:
1. . Разделим на, причем . Тогда имеем уравнение: tg x = - 1. Следовательно, .
2. , cos x = -1. Следовательно, .
3. .
Получили ответ: .
Задача 21.
Решить задачу: В окружности проведены 3 хорды: МА = 6 см, МВ = 4 см, МС = 1 см. Хорда МВ делит вписанный угол АМС пополам. Найти радиус этой окружности.
Решение:
|
Пусть угол. По теореме косинусов из треуг-ка имеем: . Аналогично из треуг-ка имеем: . |
Отрезки и равны как хорды, стягивающие равные дуги, поэтому вычтем из первого уравнения второе и получим: . Значит, . Треугольник вписан в окружность, следовательно, радиус данной окружности можно найти с помощью теоремы синусов: . Ответ: .
Задача 22.
Решить задачу: В сектор радиуса с центральным углом вписан круг. Найти его радиус.
Решение:
|
Дано: , угол . Найти: . |
Т.к. центры окружностей и точки касания лежат на одной прямой, то. Рассмотрим треугольник АОН (он прямоугольный, т.к. угол ): угол из равенства треуг-ков АОН и АОМ (т.к. ОН=ОМ=r, АН=АМ как отрезки касательных, проведенных из одной точки, сторона АО - общая).
Ответ: .
Задача 23.
Решить уравнение: .
Решение:
ОДЗ:.
Применяя формулы понижения степени, приведем это уравнение к более простому виду: , ,
.
Отсюда, используя формулу преобразования суммы косинусов в произведение, получаем: ,
,
.
Рассмотрим 2 случая:
1. ;
2. , следовательно, используя вновь формулу преобразования суммы косинусов в произведение, имеем:
a) ;
b) .
Таким образом, учитывая ОДЗ, получаем
Ответ: .
Задача 24.
Решить уравнение: .
Решение:
ОДЗ: .
Введем новую переменную, положив t = tg x. Так как , то уравнение примет вид: или . Число 2 является корнем полученного уравнения, поэтому это уравнение можно преобразовать следующим образом: . Квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней. Следовательно, уравнение имеет только один корень. Найдем корни исходного уравнения:
.
Дополнительный случай рассматривать не надо, так как .
Ответ: .
Задача 25.
Решить уравнение: .
Решение:
ОДЗ: , т.е. .
Преобразуем уравнение следующим образом:
.
Рассмотрим 2 случая:
1. ; в этом случае исходное уравнение решений не имеет, т.к. данные значения не входят в ОДЗ;
2. ; эти значения входят в ОДЗ уравнения.
Ответ: .
Задача 26.
Решить систему:
Решение:
Каждое из уравнений этой системы является простейшим, поэтому нетрудно заметить, что