Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрияРефераты >> Математика >> Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия
1. . Тогда уравнение примет вид: - корень исходного уравнения.
2. . Тогда уравнение примет вид: - корень исходного уравнения.
Ответ: .
Задача 12.
Решить уравнение: .
Решение:
ОДЗ: .
Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в правую: . Затем возводим в квадрат: , причем т.к. , то для корректности возведения в квадрат необходимо, чтобы . Получим уравнение . Найдем его корни: . Оба корня удовлетворяют ОДЗ, но только один удовлетворяет дополнительному ограничению . Поэтому ответ: .
Задача 13.
Решить уравнение: .
Решение:
ОДЗ: .
Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в правую: . Затем возводим в квадрат: . Получим уравнение . Его корни: . Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Поэтому ответ: .
Задача 14.
Решить уравнение: .
Решение:
ОДЗ: .
Выделим полный квадрат под первым знаком корня: .
Получим уравнение: . Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в правую и умножим уравнение на -1: . Возведем обе части уравнения в квадрат с учетом , получим . Найдем корни: . Учитывая ОДЗ и дополнительное ограничение , получаем ответ: .
Задача 15.
Решить систему уравнений: .
Решение:
ОДЗ: .
Из второго уравнения находим и подставляем в первое: .
Делаем замену переменной: . Получаем квадратное уравнение относительно t: . Получим корни: .
Имеем 2 случая:
1. - это невозможно, т.к. - неотрицательная величина.
2. . Отсюда .
Ответ: (1; 9).
Задача 16.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый выходит из А на 6 часов раньше, чем второй из В, и при встрече в пункте С оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих пешеходов.
Решение:
Пусть (км/ч) – скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ. Изобразим на чертеже движение пешеходов.
|
Т.к. участок ВС первый прошел за 8 часов, то . Второй прошел расстояние СА за 9 часов, поэтому . |
Из условия задачи имеем: .
Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи: .
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то: .
Сделаем замену: и решим уравнение: . Это уравнение корней не имеет. Следовательно, ответ: такая ситуация невозможна.
Задача 17.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый выходит из А на 6 часов раньше, чем второй из В, и при встрече в пункте С оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих пешеходов.
Решение:
Пусть (км/ч) – скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ.
|
Т.к. участок ВС первый прошел за 8 часов, то . Второй прошел расстояние СА за 9 часов, поэтому . |