Метод LR

Этот метод первоначально был разработан Рутисхаузером в 1958 г. Метод основан на представлении матрицы A в виде про­изведения

А = LR,

где L — левая треугольная матрица с единичными диагональ­ными элементами, а R — правая треугольная. Применяя преоб­разование подобия L-1 A R, видим, что,

A2 = L-1 A R = L-1 (RL)L = R L.

Следовательно,

Am-1 = L m-1 Rm-1,

Am = R m-1 Lm-1.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока Ls не превратится в единичную матрицу Е, а Rs не приобретет квазидиагональную форму. Хотя этот метод очень удобен, он не всегда устойчив. Поэтому предпочтение часто отдают другому методу.

Метод QR

Метод QR. предложен Фрэнсисом в 1961 г. Соответствующий ему алгоритм определяется соотношением

Am = Q m Rm.

где Q m — ортогональная матрица, а Rm — верхняя треугольная матрица. При использовании метода последовательно получаем

Am+1 = Q mT Am Q m = Q mT Q m Rm Q m = Rm Q m.

В пределе последовательность матриц А стремится к квазидиа­гональной форме. Этот метод сложнее предыдущего и требует больших затрат машинного времени. Однако его устойчивость,обусловленная использованием ортогональных преобразующих матриц, обеспечила ему прочную репутацию лучшего метода решения задач самой общей формы.

Пример 3

Пусть требуется найти все собственные значения произвольной матрицы размерности 6 x 6

Сделаем это в два приема, приведя сначала матрицу с помощью преобразова­ния подобия к виду Гсссенберга, затем с помощью разновидности метода QR найдем собственные значения. В приведенной ниже программе использованы две подпрограммы из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ. Подпрограмма НSВС преобразует матрицу размерности 6 x 6 к форме Гессенберга, а подпрограмма АТЕIG позволяет найти собственные значения.

{**********************************************************************}

Программа определение всех собственных значений произвольной матрицы размерности 6х5. Используются подпрограммы НSВС и АТЕIG из пакета программ для научных исследований фирмы IBM

{**********************************************************************}

DIMENSION A(6,6),RR(6),RI(6),IANA(6)

READ(5,100)((A(I,J),J=1,6),I=1,6)

WRITE(6,104)

104 FORMAT(///lX,’THE ORIGINAL MATRIX IS AS FOLLOWS’)

WRITE(6,103)

103 FORMAT(1X,65(-'--'))

WRITE(6,101)((A(I,J),J=1,6),I=1,6)

WRITE(6,103)

101FORMAT(6(1X,F10.5))

100 FORMAT(6F10.5)

CALL HSBG(6,A,6)

WRITE(6,105)

105 FORMAT(///1X,'THE MATRIX W HESSENBUR5 FORM IS') WRITE(6,103)

WRITE(6,101)((A(I,J),J=1,6),I=1,6)

WRITE(6,103)

CALL ATEIG(6,A,RR,RI,IANA,6)

WRITE(6,106)

106FORHAT(///1X,'THE EIGENVALUES ARE AS FOLLOUS')

WRITE(6,107)

107 FORMAT (1X, 23(‘-‘),/,4X,’REAL',12X,’IMAG’,/,23(‘-‘))

WRITE(6,102)(RR(I),PKI),I=1,6)

WRITE(6,108)

108 FORMAT(1X,23(‘-‘))

FORMAT<2(2X,F10.5)»

STOP

END

Результат получаем в виде

Исходная матрица имеет вид

Матрица в форме Гессенберга.