Алгебраическая проблема собственных значенийРефераты >> Математика >> Алгебраическая проблема собственных значений
fm(l) = (am - l) fm-1 (l) – b2 m fm-2(l).
Приняв
f0 (l) = 1 и f1 (l) = a1 - l при r = 2, п,
получим совокупность полиномов, известную как последовательность Штурма и обладающую тем свойством, что корни полинома fj (l) располагаются между корнями полинома fj+1 (l). Поэтому для f1 (l) = a1— l можно утверждать, что значение lК = а1 заключено между корнями полинома f2 (l) == (a2 — l) (a1 — l) —b22. Это облегчает итерационное определение корней полинома, так как если известны границы интервалов, в которых лежат значения корней полинома, то их можно найти методом половинного деления. Так последовательно находят корни всех полиномов, и последний из них fn (l) дает все искомые п собственные значения. Эту процедуру можно проиллюстрировать графически (см. рис. 3).
Последовательность Штурма обладает еще и таким свойством: для любого значения b, при котором fn (b) <> 0, число собственных значений матрицы A, больших b, равно числу изменений знака последовательности
1, f1 (b), f2 (b), … , (1)n fn (b).
Если целое число, равное числу изменений знака, обозначить через V(b), то число собственных значений в интервале действительных чисел [b, с] будет равно V(b)—V(c).
| |||
| |||
| |||
………………………………………………………………………………………………………
| |||
| |||
Рис. 3. Итерационное определение корней полинома
6. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
В этом разделе мы рассмотрим два метода определения собственных значений, имеющие большое практическое значение. Оба разработаны в последние 20 лет и наиболее эффективны в тех случаях, когда требуется найти все собственные значения произвольной матрицы действительных или комплексных чисел. В обоих используются преобразования, позволяющие получить последовательность подобных матриц, сходящуюся к матрице блочной треугольной формы:
X1 |
* |
… |
… |
* |
* |
* | |
x2 |
* |
… |
… |
* |
* |
* | |
x3 |
… |
… |
* |
* |
* | ||
… |
… |
* |
* |
* | |||
… |
* |
* |
* | ||||
… |
* |
* | |||||
0 |
… |
* | |||||
* |
где блоки Хm, представляют собой матрицы размерности 2 х 2, расположенные на главной диагонали. Собственные значения блоков Хm, являются в то же время собственными значениями исходной матрицы размерности п x п. Такая форма удобна, так как детерминант второго порядка блоков Хm позволяет определять комплексные собственные значения, не вводя комплексных элементов в окончательную матрицу. Если все собственные значения исходной матрицы действительные, то в окончательном виде она будет треугольной, причем собственные значения будут расположены на диагонали.