Алгебраическая проблема собственных значенийРефераты >> Математика >> Алгебраическая проблема собственных значений
* |
* |
0 |
0 |
0 | ||
* |
* |
* |
0 |
0 |
после третьего основного шага, | |
A3= |
0 |
* |
* |
* |
0 |
состоящего из одного преобразования. |
0 |
0 |
* |
* |
* |
Теперь матрица имеет трехдиагональный вид. | |
0 |
0 |
0 |
* |
* |
На каждом основном шаге изменяются лишь те элементы матрицы аij, которые расположены в ее правой нижней (заштрихованной) части. Таким образом на k-м шаге преобразуется только матрица порядка (п — k + 1), занимающая правый нижний угол исходной матрицы. Ясно, что на каждой следующей стадии выполняется меньшее число преобразований, чем на предыдущей. Всего для приведения матрицы к трехдиагональному виду требуется выполнить (n2 — Зп + 2)/2 преобразований.
Наш опыт применения метода Гивенса показывает, что можно при выполнении одного шага преобразований обратить в нуль сразу все элементы целой строки и столбца, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод, позволяющий выполнить такое преобразование, предложил Хаусхолдер .
Метод Хаусхолдера для симметричных матриц
Метод Хаусхолдера позволяет привести матрицу к трехдиагональному виду, выполнив почти вдвое меньше вычислений по сравнению с другими методами. Это обусловлено тем, что при его применении становятся нулевыми сразу все элементы строк и столбцов, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод Хаусхолдера позволяет получить требуемый результат быстрее, чем метод Гивенса, так как связан с выполнением меньшего числа, хотя и более сложных преобразований. Это его свойство особенно ярко проявляется применительно к большим матрицам. Хотя в методе Хаусхолдера вместо плоских вращении используются эрмитовы ортогональные преобразования матриц, трехдиагональная форма матрицы, которую получают этим методом, имеет те же собственные значения, что и трехдиагональная матрица, получаемая методом Гивенса. При использовании метода Хаусхолдера на п — 2 основных шагах выполняются следующие преобразования:
Аk = РkAk-1Рk, k=1, 2, ., п-2,
где Aо == А.
Каждая преобразующая матрица имеет вид
uk ukT
Pk = E - -------------- ,
2Kk2
где
ui,k = 0 при i = 1, 2, …, k,
ui,k = ak,i при i = k+2, …, n,
uk+1,k = ak,k+1 ± Sk.
Здесь
n 1/2
Sk = S a2k,i
i=k+1
2K2k = S2k ± ak, k+1 Sk.
В этих уравнениях берется знак, соответствующий элементу ak,k+1. Это позволяет сделать значение иk+1,k максимальным. Отметим, что методами Гивенса и Хаусхолдера можно пользоваться и в случае несимметричных матриц, приводя их, правда, не к трехдиагональному, а другому частному виду треугольной матрицы известной как матрица Гессенберга:
* |
* |
0 |
0 |
0 |
0 |
* |
* |
* |
0 |
0 |
0 |
* |
* |
* |
* |
0 |
0 |
* |
* |
* |
* |
* |
0 |
* |
* |
* |
* |
* |
* |
* |
* |
* |
* |
* |
* |
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СИММЕТРИЧНОЙ ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ
Приведя симметричную матрицу к трехдиагональному виду методом Гивенса или Хаусхолдера, необходимо найти ее собственные значения. Чтобы ясней были достоинства трехдиагональной формы, сформулируем задачу о собственных значениях в виде
dеt(А—lE) = 0,
где А — симметричная трехдиагональная матрица. Раcкрыв выражение в скобках, получим
a1 - l |
b2 |
0 | ||
b1 |
a2 - l |
= 0 | ||
bn | ||||
0 |
bn |
an - l |
Произвольный определитель порядка п можно выразить через п миноров порядка п — 1, каждый из которых в свою очередь выражается через п — 1 миноров порядка п — 2. Удобство трехдиагональной формы в том, что на каждом шаге все миноры, кроме двух, оказываются равными нулю. В результате исходный определитель представляется последовательностью полиномов