Алгебраическая проблема собственных значений
Рефераты >> Математика >> Алгебраическая проблема собственных значений

103 FORMAT (1X,I5,7X,E12.5,3F10.5)

104 FORMAT (1X,I5,19X,3F10.5)

STOP

END

{**********************************************************************}

SUBROUTINE NORML(XL,X)

DIMENSION X(3)

{**********************************************************************}

Подпрограмма norml.

Эта подпрограмма находит наибольший из трех элементов собственного вектора и нормирует собственный вектор по этому наибольшему элементу.

{**********************************************************************}

# FIND THE LARGEST ELEMENT

XBIG = X(1)

IF(X(2).GT.XBIG)XBIG=X(2)

IF(X(3).GT.XBIG)XBIG=X(3)

# Нормирование по XBIG

X(l) = X(1)/XBIG

X(2) = X(2)/XBIG

X(3) = X(3)/XBIG

XL = XBIG

RETURN

END

{**********************************************************************}

Результат работы программы получаем в виде:

Номер

Итерации

Собственное

Значение

( N / M ** 2 )

Собственный вектор

X (1)

X (2)

X (3)

0.

 

1.00000

0.

0.

1.

0.10000 Е 08

1,00000

0.50000

0.60000

2.

0.26000Е 08

0.61923

0.66923

1.00000

3.

0.36392Е 08

0.42697

0.56278

1.00000

4.

0.34813Е 08

0.37583

0.49954

1.00000

5.

0.34253Е 08

0.35781

0.46331

1.00000

6.

0.34000Е 08

0.34984

0.44280

1.00000

7.

0.33870Е 08

0.34580

0.43121

1.00000

8.

0.33800Е 08

0.34362

0.42466

1.00000

9.

0.33760Е 08

0,34240

0.42094

1.00000

10.

0.33738Е 08

0.34171

0.41884

1.00000

11.

0.33726Е 08

0.34132

0.41765

1.00000

12.

0.33719Е 08

0,34110

0.41697

1.00000

13.

0.33714Е 08

0.34093

0.41658

1.00000

14.

0.33712Е 08

0.34091

0.41636

1.00000

Отметим, что для достижения требуемой точности потребовалось 14 итераций.

Определение наименьшего собственного значения методом итераций

В некоторых случаях целесообразно искать наименьшее, а не наибольшее собственное значение. Это можно сделать, предвари­тельно умножив исходную систему на матрицу, обратную A:

А-1АX=lА-1X.

Если обе части этого соотношения умножим на 1/l, то получим

1/l Х = A-1X.

Ясно, что это уже иная задача на собственное значение, для кото­рой оно равно 1/l, а рассматриваемой матрицей является A-1. Максимум 1/l, достигается при наименьшем l. Таким образом, описанная выше итерационная процедура может быть использо­вана для определения наименьшего собственного значения новой системы.

Определение промежуточных собственных значений методом итераций

Найдя наибольшее собственное значение, можно определить следующее за ним по величине, заменив исходную матрицу мат­рицей, содержащей лишь оставшиеся собственные значения. Используем для этого метод, называемый методом исчерпывания. Для исходной симметричной матрицы A с известным наиболь­шим собственным значением l1 и собственным вектором X1 мож­но воспользоваться принципом ортогональности собственных векторов, т. е. записать

ХiT Хj =0 при i<>j и ХiT Хj =1 при i=j.

Если образовать новую матрицу A* в соответствии с формулой

A* =A-l1Х1Х1T,

то ее собственные значения и собственные векторы будут связаны соотношением

А*Xi =liXi.

Из приведенного выше выражения для матрицы A* следует, что

A* Хi= AХi -lХ1 Х1TXi.

Здесь при i = 1 свойство ортогональности позволяет привести правую часть к виду

A Х1 - l1 Х1.

Но по определению собственных значений матрицы A это выра­жение должно равняться нулю. Следовательно, собственное значение l1 матрицы A* равно нулю, а все другие ее собственные значения совпадают с собственными значениями матрицы A. Таким образом, матрица A* имеет собственные значения 0, l2, l3,. . ., ln и соответствующие собственные векторы Х1, Х2, Хз,. . . Хn. В результате выполненных преобразований наибольшее собственное значение l1 было изъято, и теперь, чтобы найти сле­дующее наибольшее собственное значение l2, можно применить к матрице A* обычный итерационный метод. Определив l2 и Х2, повторим весь процесс, используя новую матрицу A**, получен­ную с помощью A*, l2 и Х2. Хотя на первый взгляд кажется, что этот процесс должен быстро привести к цели, он имеет сущест­венные недостатки. При выполнении каждого шага погрешности в определении собственных векторов будут сказываться на точ­ности определения следующего собственного вектора и вызы­вать накопление ошибок. Поэтому описанный метод вряд ли применим для нахождения более чем трех собственных значений, начиная с наибольшего или наименьшего. Если требуется полу­чить большее число собственных значений, следует пользоваться методами преобразования подобия.


Страница: