Вот краткое описание одной из попыток Лежандра. Пусть а и b – две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой и пересекающие её в точках А и В. Эти две прямые а и b не пересекаются. Допустим, что пятый постулат Евклида неверен и через А можно провести ещё одну прямую а', также не пересекающую b (рис. 10). Симметричная ей (относительно АВ) прямая а'' также не пересекает прямую b. Рассматривая два получающихся острых угла α' и α'' (симметричных друг другу), Лежандр строго доказывает, что прямая а как при продлении её вправо, так и при продлении её влево всё более удаляется от прямой b. Но прямые а и b не могут вести себя подобным образом: если они не пересекаются, то должны находиться на ограниченном расстоянии друг от друга на всём своём протяжении. Рассуждения Лежандра кажутся весьма убедительными, однако на самом деле это просто другая аксиома: она следует из постулата о параллельных, и, в свою очередь, из неё вытекает справедливость постулата.

Основными результатами исследований Лежандра были, судя по всему, следующие выводы: из допущения, что длина прямых линий неограниченна следует, что сумма внутренних углов треугольника не может быть больше суммы двух прямых углов; если в одном треугольнике сумма внутренних углов равна двум прямым, то во всяком треугольнике эта сумма равна двум прямым.

Считая, как и Саккери, евклидову геометрию «единственно истинной», он направил все свои силы на доказательство существования треугольника, сумма внутренних углов которого равна сумме двух прямых, но цели не достиг.

В это же время Карл Гаусс (1777 – 1855) и некоторые из его учеников – Швейкарт (1780 – 1859), Тауринус (1794 – 1874) и другие – вступали в «эпоху неевклидовой геометрии».

Первоначально Гаусс испытывал большое влияние Канта (1724 – 1804) и придерживался воззрений предшественников, считавших евклидову геометрию единственно истинной. Однако постепенно он пришёл к мысли о невозможности доказательства постулата о параллельных. Гаусс, по существу, был первым, кто поверил в возможность существования другой геометрии, помимо геометрии Евклида. Название «неевклидова геометрия» принадлежит ему (письмо Тауринусу от 8 ноября 1824 года).

Хотя из писем и заметок Гаусса явствует, какое значение он придавал новой геометрии, он, однако, не напечатал трудов по этому вопросу. Считают, что это произошло потому, что Гаусс боялся шумных скандалов со стороны невежд и ретроградов, «мудрецов из Готама», которые могли вспыхнуть из-за исключительной новизны его идей. Говорят, что у него была идея опубликовать «в элегантной манере» положения неевклидовой геометрии вплоть до деталей.

В 1832 году Гаусс прочёл приложение («Appendix») к учебнику по геометрии «Тентамент», изданному в том же году его другом Фаркашем Бойяи (1775 – 1856). В нём сын Фаркаша, Янош Бойяи (1802 – 1860), изложил основы неевклидовой геометрии.

Пока же кратко обрисуем достижения учеников и последователей Гаусса.

Швейкарт, профессор права в Марбургском университете, в 1818 году передал Гауссу свои геометрические исследования, содержание которых сводилось к новой системе геометрических представлений, в основе которых лежало положение о том, что сумма внутренних углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Сам он дал своей системе название «Небесная или звёздная геометрия».

Племянник Швейкарта Тауринус, который также интересовался проблемой параллельных линий, написал сочинение под названием «Основные элементы геометрии», в приложении к которому была приведена важная формула для углов треугольника в неевклидовой геометрии. Этот труд тогда не привлёк внимания учёного мира, и большую часть своих «Элементов» Тауринус сжёг.

В начале XIX века начал свои попытки доказательства пятого постулата русский математик профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. Первое время он шёл тем же путём, что и его предшественники, то есть пытался рассуждать от противного.

Итак, допустим, что пятый постулат неверен: через точку А, не принадлежащую прямой b, (рис. 11) можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с b. Пусть прямые а' и а'' не пересекаются с b. При их расположении как на рисунке будем поворачивать прямую а' по часовой стрелке. Тогда найдётся прямая с', которая последним образом прямой а' при этом движении, который не пересекает b. Значит прямые, получающиеся из с' при повороте по часовой стрелке на сколь угодно малый угол будут пересекать прямую b, а прямые, получающиеся из с' при малом повороте в обратном направлении, не будут пересекать b. Иначе говоря, среди всех прямых, проходящих через точку А, прямая с' отделяет пересекающие b прямые от прямых, не пересекающих её. Сама прямая с' не пересекает b. Такая же картина наблюдается и для прямой с'', симметричной с' относительно перпендикуляра AP, опущенного на b.

Лобачевский называет прямые с' и с'' параллельными прямой b, причём с' параллельна b вправо, а с'' параллельна b влево. Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающие прямую b (такие, как а' и а''), именуются расходящимися с прямой b.

Далее обозначим длину отрезка АР через x, а острый угол, образуемый прямой с' или с'' с прямой АР, – через П(х) (рис. 12). Лобачевский вводит эти определения и обозначения стремясь, со свойственной ему настойчивостью, узнать, что может получиться из его предположения о неверности пятого постулата, и быстрее обнаружить желанное противоречие.

Лобачевский доказывает (всё в том же предположении о неверности постулата о параллельных), что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в стороны параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга (рис. 13). А две расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются друг от друга (рис. 14). Это очень похоже на то, о чём писал Лежандр, но мы знаем, что здесь пока нет противоречия.

Затем Лобачевский рассматривает две параллельные прямые b и с и брёт на прямой b движущуюся точку М, удаляющуюся в сторону, обратную параллельности (рис. 15). В каждом положении точки М он восставляет перпендикуляр р к прямой b до его пересечения с прямой с. Длина перпендикуляра непрерывно возрастает при движении точки М, и, когда она попадает в некое положение Q, длина перпендикуляра становится бесконечной. Точнее говоря, перпендикуляр р, восставленный к прямой b в точке Q, параллелен прямой с (рис. 16). Построив прямую с1, симметричную с относительно перпендикуляра р, получим три прямые – b, с и с1, которые попарно параллельны друг другу (рис. 17). Возникает своеобразный «бесконечный треугольник»: у него каждые две стороны параллельны друг другу, а вершин совсем нет (они как бы находятся в бесконечности; рис. 18). Это уже никак не согласуется с привычными представлениями о расположении прямых линий, но противоречия и здесь нет.