Введение

Lascante ogni speranca voi ch’entrate!

Dante

Современная геометрия построена по т. н. аксиоматическому методу, согласно которому в основу теории кладутся некоторые исходные положения – аксиомы (от греческого axiǒma – удостоенное, принятое положение, от axiόǒ – считаю достойным), или постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теории) должны выводиться чисто логическим путём посредством доказательств. Назначение аксиоматического метода состоит в том, чтобы ограничить произвол при принятии научных суждений в качестве истин для данной теории. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называют дедуктивным. Основной областью применения аксиоматического метода была и остаётся математика, хотя в той или иной мере метод использовался для изложения философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), политической экономии (К. Родбертус-Ягецов), биологии (Дж. Вуджер) и других наук.

Система аксиом (аксиоматика) должна обладать рядом свойств, таких как непротиворечивость, полнота и независимость.

Непротиворечивость (совместимость) аксиоматики – свойство, состоящее в том, что из неё нельзя вывести противоречие, т. е. какие-либо два предложения, взаимно исключающие друг друга.

Полнота – свойство научной теории или системы аксиом, характеризующее достаточность для каких-либо целей её выразительных и (или) дедуктивных средств.

Обычно рассматривают два аспекта понятия полноты: так называемые функциональную и дедуктивную полноту.

Непосредственно к аксиоматике относится полнота дедуктивная (именно она имеется в виду, когда говорится о полноте системы аксиом; слово «дедуктивная», как правило, опускается), однако само понятие полноты удобно проиллюстрировать на примере функциональной полноты применительно к естественному языку.

Итак, полнота языка – то (неформальное) его качество, благодаря которому на нём можно сформулировать любое осмысленное сообщение, могущее понадобиться для тех или иных целей. Например, английский язык функционально полон с точки зрения целей, которые имел в виду Уильям Шекспир, создавая «Гамлета» (если исходить из предположения, что ему удалось полностью реализовать свой замысел). Но и любой другой из «живых» языков, на которые переведён «Гамлет» полон в том же смысле: перевод (если он абсолютно точно передаёт замысел Шекспира) как раз и служит доказательством функциональной полноты.

Дедуктивная полнота. В зависимости от выбора критерия «достаточности» приходят к той или иной точной модификации понятия. Вообще аксиоматическая система называется (дедуктивно) полной по отношению к данному свойству (или интерпретации, что то же, что и чаще употребляемый в этом реферате термин «модель»), если все её формулы, обладающие данным свойством (истинные при данной интерпретации), доказуемы в ней. В ряде случаев понятие дедуктивной полноты удаётся определить чисто синтаксическим (формальным) путём и сделать предметом изучения математическими средствами. Такая дедуктивная полнота определяется как невозможность присоединения к системе без противоречия никакой недоказуемой в ней формулы в качестве аксиомы.

Независимость – свойство системы аксиом, заключающееся в том, что ни одну из этих аксиом и ни одно из предположений, обратных им нельзя вывести логически, используя остальные аксиомы данной системы.

Если рассматривать свойство независимости на примере «живого» (естественного) языка, то его следует представить так: независимость понятия (термина или утверждения) от данной системы понятий (терминов или утверждений) – такое его свойство, которое не позволяет определить (вывести) его из той же системы понятий. Так, например, того же Гамлета мы можем описать тремя утверждениями: «Гамлет – литературный персонаж, принц датский, влюблённый в Офелию». Любое из этих утверждений никак не следует из остальных двух. Зато заменив утверждение о том, что Гамлет – литературный персонаж на другое – о том, что он был сыном датского короля, получим систему утверждений, в котором два первых не будут независимы от неё.

Чтобы доказать независимость утверждения (аксиомы) от данной системы, необходимо построить две модели, в одной из которых будут выполняться все утверждения этой системы, а в другой – все, кроме данного утверждения.

Исторический очерк

Диплом писал про древние святыни,

О скифах, о языческих богах.

При этом так ругался по-латыни,

Что скифы эти корчились в гробах.

Владимир Высоцкий

Геометрия как эмпирическая наука в ранний период достигла особенно высокого уровня развития в Египте в связи с землемерными и ирригационными работами.

В первом тысячелетии до н. э. геометрические сведения от египтян перешли к грекам, в Греции начался новый этап в развитии геометрии. В IV веке до н. э. Аристотель создал основы логики. К тому времени Фалес уже ввёл в математику метод рассуждения и доказательства (при доказательстве Фалес обходился вовсе без аксиоматики – не указывал на аксиомы, не пытался определить их наименьший необходимый для доказательств набор). Аристотель учил, что изложение теории должно начинать с первоначальных положений – аксиом, из которых выводятся дальнейшие факты – теоремы. За период с VII по III век до н. э. греческие геометры не только обогатили науку многочисленными новыми фактами, но предприняли также серьёзные шаги к строгому её логическому обоснованию.

Многовековая работа греческих учёных за этот период была подытожена и систематизирована Евклидом (330 – 275 гг. до н. э.) в его знаменитом труде «Начала». Это сочинение даёт первое дошедшее до нас строгое логическое построение геометрии. В нём изложение настолько безупречно для тех времён, что в течение двух тысяч лет с момента появления «Начал» оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

«Начала» включают тринадцать книг, из коих собственно геометрии посвящены I –IV и VI, где излагается планиметрия, а также XI – XIII, рассматривающие стереометрию. Остальные книги «Начал» посвящены арифметике в геометрическом изложении.

Хотя «Начала» Евклида и были длительное время образцом для сравнения, они далеко не достигают современного уровня строгости изложения. Данные в первой книге определения геометрических образов являются скорее описанием их, причём далеко не совершенным. Так, например, определение прямой линии не отличает её от окружности, а определение линии произвольной содержит упоминание о длине и ширине, понятия которых сами нуждаются в определении.

Не следует думать, однако, что дефектны все определения, данные Евклидом в первой книге «Начал». Наоборот, целый ряд определений, например, треугольника, окружности, острого, тупого и прямого углов либо безупречны, либо содержат незначительные, легко устранимые недостатки. Если при этом учесть, что свойства геометрических образов, содержащиеся в дефектных определениях, нигде в доказательствах не используются, то эти определения могут быть опущены без всякого ущерба для изложения.