Всё это лишь безумье.

Так с ним бывает, на него находит, -

а погодя, смиреннее голубки,

уж выведшей птенцов своих златых,

он замолчит, потупясь.

Уильям Шекспир

Тема эта реферата такова, что её можно было бы рассматривать ещё долго, однако на этом мы остановимся и попытаемся подвести итоги проделанной работы.

В реферате было рассмотрено историческое развитие аксиоматики геометрии, кратко указаны основные положения аксиоматического метода вообще, приведена современная геометрическая аксиоматика, рассмотрена также проблема аксиомы о параллельности и неевклидовых геометрий, в связи с чем представлен современный взгляд на понятие аксиомы.

В школьном курсе геометрии аксиоматика в целостном виде не рассматривается, в программе не представлена даже сведённая воедино система аксиом. Аксиомы вводятся по мере изучения тем, с которыми они связаны, что не даёт возможности составить целостного мнения об аксиоматике. Эта работа решает, и, в первую очередь, для меня эту проблему.

В своём реферате я попытался систематизировать материал возможно более удобным для читателя, «логичным» образом, не отходя там, где это необходимо, от строгого языка математики, и, в то же время стараясь не пресыщать изложение наукообразностью, вести его по возможности в относительно непринуждённом стиле. Некоторые выводы (например, рассуждения Лобачевского, приведшие к открытию неевклидовой геометрии) проиллюстрированы в реферате чертежами.

Эта тема была выбрана мной постольку поскольку она позволяет рассмотреть достаточно широкий круг вопросов, включающий в себя не только математические выкладки, но могущий быть описан достаточно интересно как для меня, так и для непосвящённого читателя, если такой найдётся. Реферат вмещает достаточный объём строгих математических выводов и доказательств. Безусловно, одними из основных частей реферата являются те части, в которых приводятся сами системы аксиом геометрии и доказательства их законности. Чтобы иметь право рассматривать подобные доказательства представилось необходимым привести и общий метод их построения, сформулировать условия, которым должна отвечать система аксиом, дать определения используемым в изложении этих систем и доказательствах их законности терминам и понятиям.

Не последнюю роль в выборе этой темы сыграло и то, что она напрямую затрагивает самые основы науки геометрии. Аксиоматика – система словесных утверждений, опирающихся на неопределяемые понятия, и тема, таким образом, балансирует на неуловимой грани между строгими логическими обоснованиями теории и тем, что принято отдавать на волю интуиции, а такое положение интересно само по себе.

Использованная литература

1. Выпуск пятый в составе «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова – В. А. Ильин, Э. Г. Позняк «Аналитическая геометрия». Москва, «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1981 год.

2. Алексей Васильевич Погорелов «Основания геометрии», Москва, «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1979 год.

3. Мацуо Комацу «Многообразие геометрии», Москва, «Знание», 1981 год.

4. Энциклопедия для детей «Математика», Москва, «Аванта+», 1998 год.

5. Большая Советская Энциклопедия, Гл. Ред.: А. М. Прохоров, издание 3-е, Москва, «Советская Энциклопедия», 1969 год.

[1] Под термином «прямая пересекает отрезок» мы подразумеваем, что указанная прямая содержит некоторую внутреннюю точку этого отрезка.

1 Из этой аксиомы вытекает возможность перемещения отрезка АВ вдоль прямой, на которой он лежит (с сохранением его длины и направления). Будем говорить, что направленный отрезок получен в результате перемещения направленного отрезка , если отрезок CD конгруэнтен отрезку АВ и если либо отрезок AD лежит внутри отрезка ВС, либо отрезок ВС лежит внутри отрезка AD.

1 Так как в неевклидовых геометриях отклонение суммы углов треугольника от 180° тем заметнее, чем больше его размеры, то Гаусс пытался уловить это отклонение, проводя при помощи световых лучей измерения очень больших треугольников, образованных вершинами соседних гор.