Что касается постулатов и аксиом, то их формулировки безупречны, содержащиеся в них утверждения существенны и составляют основу следующих за ними доказательств.

Однако несмотря на то, что согласно Евклиду доказательства всех предложений должны в конечном итоге опираться на свойства геометрических образов, определяемых постулатами и аксиомами, уже беглое знакомство с доказательствами Евклида убеждает нас в том, что в них неоднократно используются такие свойства геометрических образов и отношения между ними, которые не выясняются ни постулатами, ни аксиомами. Так, например, для доказательства предложения 4 (фактически, эквивалентного первому признаку равенства треугольников) он пользуется движением, а в ряде других доказательств ссылается на свойства взаимного расположения точек на прямой, выражаемые словами «лежать между». (Например, говоря о свойствах прямоугольного треугольника, Евклид считал понятным, ссылаясь на чертёж, что перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла, проходит внутри треугольника, т. е. Основание перпендикуляра лежит между концами гипотенузы (рис. 1) Иначе говоря, система аксиом или аксиоматика, построенная Евклидом, не является полной. Возникает естественный вопрос, нельзя ли освободить евклидовы доказательства от этого недостатка, заменив, быть может, их другими, опирающимися только на постулаты и аксиомы. Ответ на этот вопрос был получен сравнительно недавно. Оказалось, что это возможно только после надлежащего пополнения системы постулатов и аксиом (аксиоматики) Евклида.

В 1882 году немецкий математик Мориц Паш (1843-1930) сформулировал несколько аксиом о расположении точек и прямых. Привнесённую им группу аксиом принято называть аксиомами порядка. Одна из этих аксиом носит его имя (аксиома Паша; см. гл. «Аксиоматика Гильберта», стр. 6, рис. 2)

Исследование аксиоматики евклидовой геометрии завершил к 1889 году Давид Гильберт. Предложенная им система аксиом считается полной. Она состоит из пяти групп: аксиомы связи, аксиомы порядка, аксиомы конгруэнтности (т. е. равенства), аксиомы непрерывности и аксиома параллельности. Аксиомы эти пяти групп относятся к объектам трёх родов – точкам, прямым, плоскостям и трём соотношениям между ними, выражаемым словами «принадлежит», «между», «конгруэнтен». Что такое точка, прямая, плоскость, и каков конкретный смысл указанных соотношений, Гильберт не уточняет. И всё, что предполагается известным о них, это то, что выражено в аксиомах.

Гильберт подвергнул предложенную им систему аксиом глубокому и всестороннему исследованию. В частности, он доказал, что его система непротиворечива (см. ниже), если непротиворечива теория действительных чисел. Далее, Гильберт доказал независимость некоторых аксиом, помимо аксиомы параллельных. Наконец, Гильберт исследовал вопрос о том, как далеко можно развить геометрию, если класть в её основание те или иные группы аксиом, на которые расчленяется система.

Работой Гильберта были в основном завершены многовековые исследования по обоснованию элементарной геометрии. Эта работа получила очень высокую оценку современников и в 1903 году была отмечена премией имени Н. И. Лобачавского.

Аксиоматика Гильберта

Хотя в современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиоматикой Гильберта, приведём её, как первую полную, независимую и непротиворечивую систему аксиом.

Все двадцать аксиом системы Гильберта подразделены на пять групп.

· Группа I содержит восемь аксиом принадлежности.

· Группа II содержит четыре аксиомы порядка.

· Группа III содержит пять аксиом конгруэнтности.

· Группа IV содержит две аксиомы непрерывности.

· Группа V содержит одну аксиому параллельности.

Переходим к формулировке аксиом по группам. Одновременно будем указывать некоторые утверждения, вытекающие из формулируемых аксиом.

I. Аксиомы принадлежности

I, 1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.

I, 2. Каковы бы ни были две точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.

I, 3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

Указанные три аксиомы исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии. Следующие пять аксиом вместе с указанными тремя завершают список аксиом принадлежности стереометрии.

I, 4. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.

I, 5. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.

I, 6. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.

I, 7. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обоим этим плоскостям.

I, 8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

С целью использования привычной для нас геометрической лексики договоримся отождествлять между собой следующие выражения: 1) «точка А принадлежит прямой a (плоскости α)», 2) «прямая а (плоскость α) проходит через точку А» 3) «точка А лежит на прямой а (плоскости α)» 4) «точка А является точкой прямой а (плоскости α)» и тому подобные.

Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки.

Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

Теорема 3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь более одной общей точки.

Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку, или через две различные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плоскость.

Теорема 5. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки.

II. Аксиомы порядка

II, 1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С – различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.

II, 2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере она точка В такая, что С лежит между А и В.

II, 3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.