В заключение отметим, что гильбертова аксиоматика полностью уточнила не вполне совершенную систему аксиом, созданную Евклидом более двух тысяч лет тому назад. Аксиоматика Фридриха Шура и аксиоматика Германа Вейля связали геометрию с понятиями группы преобразований и векторного пространства, которые играют важнейшую роль во многих разделах современной математики, физики, экономики, химии, биологии и других областей знания.

Неевклидова геометрия

…Are you the one?

Scorpions

…Самое несложное из всего…тем, кто хорошо

знаком с пятым измерением, ничего не стоит…

Михаил Булгаков

Неевклидова геометрия оформилась в XIX веке, однако период её становления был длительным. В течение двух тысяч лет после Евклида и появления первых, сформулированных им, аксиом многие математики вели напряжённый научный поиск. Мы сможем упомянуть здесь лишь основные этапы этого долгого исторического процесса.

Исходной точкой логической системы Евклида является положение о том, что выдвинутые им постулаты очевидны и единственно верны. Имеются пять постулатов:

1. Через две точки проходит единственная прямая.

2. Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить.

3. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, эти прямые пересекаются, и притом с той стороны от третьей прямой, с которой эта сумма меньше двух прямых (рис. 8).

Последний, пятый постулат известен как постулат о параллельных.

Евклид приводит также девять аксиом, представляющих собой общие положения, например: «Если к двум равным величинам прибавляются равные, то и суммы будут равными».

Постулат о параллельных по сравнению с другими постулатами гораздо сложнее, смысл его глубже. Хотя и к нему должно быть применимо условие самоочевидности, однако формулировка постулата такова, что не поддаётся восприятию сразу по прочтении. Правда, это обстоятельство было осознано позже. Вопрос заключается в том, можно ли этот постулат считать не самим по себе верным, а выводимым из других постулатов и аксиом, иными словами, является ли он независимым (см. гл. «Введение», стр. 3). Если утверждение может быть доказано, то нет никакой необходимости выдвигать его в качестве постулата. А если так, то это свидетельствует, по выражению Д’Аламбера, о «подводных камнях и капризном характере геометрии…»

Многие комментаторы Евклида пытались найти доказательство постулата о параллельных, однако все попытки такого рода оканчивались безрезультатно. Не исключено, что и сам Евклид пришёл к мысли о выдвижении этого положения в качестве постулата после нескольких неудачных попыток найти его доказательство, основываясь на остальных сформулированных аксиомах. По-видимому, его исследования в этом направлении скорее также не увенчались успехом, чем были незавершёнными.

Этот опыт породил в настоящее время целое направление сложнейших интенсивных исследований в основаниях не только геометрии, но и всей математической теории.

Относительно геометрии можно сказать, что в результате длительных исследований были получены равноценные постулату о параллельных формулировки, например утверждение, входящее в аксиоматику Гильберта как аксиома параллельности (см. гл. «Аксиоматика Гильберта», стр. 6), или – «сумма внутренних углов треугольника равна сумме двух прямых углов».

Эти и подобные им утверждения можно доказать, если исходить из предположения о том, что постулат о параллельных верен, и наоборот, допустив, что любое из приведённых суждений правильно, можно доказать справедливость постулата о параллельных. В этом смысле приведённые утверждения равносильны, или, как ещё говорят, эквивалентны. Среди попыток доказательства пятого постулата Евклида особого внимания заслуживают исследования Дж. Саккери (1677 – 1733) и Адриена Мари Лежандра (1752 – 1833).

Саккери, проведя к горизонтальной прямой вертикальные и равные отрезки, соединил их концы. Он получил четырёхугольник с тремя прямыми углами (рис. 9). Предполагая, что четвёртый угол (обозначим его φ) – прямой, можно вывести постулат о параллельных.

Саккери, проявляя достаточную широту подхода к вопросу, рассмотрел три случая:

1) Когда угол φ – прямой;

2) Когда угол φ – тупой;

3) Когда угол φ – острый.

Затем он пытался доказать осуществимость только первого случая.

Первую гипотезу, допускающую существование четырёхугольника, у которого четвёртый угол φ тупой, Саккери отверг при помощи строгого рассуждения. Однако доказать, что и гипотеза острого угла неверна, ни сам Саккери, ни его последователи не смогли.

Хотя в конечном итоге Саккери потерпел неудачу, результаты, полученные им позволили глубже вникнуть в суть рассматриваемого вопроса. Среди таких результатов имеется следующая теорема:

Если предположить, что для какой-либо построенной таким образом фигуры справедливо одно из трёх вышеупомянутых положений, то такое условие будет иметь место для любой другой фигуры, построенной подобным образом.

Исходя из одного из трёх допущений, можно вывести, что сумма внутренних углов треугольника либо равна двум прямым, либо больше, либо меньше суммы двух прямых.

Так из первого допущения о прямом угле можно вывести, что если при пересечении двух прямых третьей величины соответственных углов одинаковы, то в этом случае (и только в этом случае) эти две прямые не пересекутся при их продолжении. Далее, из второго допущения следует, что они, напротив, пересекутся. И, наконец, из третьего допущения вытекает, что существует неограниченное число прямых, которые пересекутся с данной прямой, если проводить их через точку, не лежащую на этой прямой.

Вероятно, в конечном счете Саккери, подобно другим исследователям, потерял основную нить в «безграничном болоте» рассуждений. Вполне возможно, что если бы в какой-то момент он отказался от привычной мысли о том, что «евклидова геометрия – это единственная истина», то, как знать, он, может быть, стал бы первооткрывателем неевклидовой геометрии.

Много усилий для доказательства пятого постулата приложил также и Лежандр. Благодаря его усилиям этой проблемой заинтересовались многие математики Франции и Англии. Его книга, посвящённая евклидовой геометрии хорошо написана и выдержала несколько изданий. Почти в каждом из них Лежандр публиковал рассуждение, в котором, по его мнению, доказывался пятый постулат. Но неизменно в следующем издании автор признавал, что в его рассуждении использовалось некое утверждение (не сформулированное им явно) – «очевидное». То есть, постулат доказывался им с помощью утверждения, доказуемого с помощью самого постулата, если он верен. Другими словами, Лежандр заменял недоказуемый пятый постулат другой аксиомой.