Таблица 5

Расчётная таблица распределения ОКР ГОСБ РФ №8203 по возрасту

лет – средний возраст ОКР.

Расчёт средней по интервальному ряду распределения даёт приближённый результат за счёт того, что за значения х берутся не точные данные, а осреднённые значения (середины интервалов).

3.1.1.4. Способ моментов

Если интервальный ряд имеет равные интервалы или дискретный ряд построен с одним и тем же шагом между ближайшими значениями признака, для расчёта средней применим способ «моментов». Алгоритм метода заключается в следующем:

1. строится новый дискретный ряд распределения, в котором одна из вариант приравнивается к нулю. К нулю можно приравнять любую варианту, но для упрощения расчётов лучше «занулить» варианту, находящуюся в середине ряда и имеющую наибольшую частоту. Нулевая варианта называется основанием и обозначается ;

2. остальные варианты нового ряда обозначаются и рассчитывается по формуле:

, где h – ширина равного интервала или шага; x’ – условные варианты;

3. определяется средняя по способу моментов:

,

где - момент первого порядка.

3.1.1.5. Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в n раз величина средней арифметической не изменится.

2. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.

3. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:

4. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

5. Если х = с, где с - постоянная величина, то .

6. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:

.

3.1.2. Средняя гармоническая.

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей (т.е. тогда, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель).

3.1.2.1. Средняя гармоническая взвешенная

Произведение xf даёт объём осредняемого признака х для совокупности единиц и обозначается w. Если в исходных данных имеются значения осредняемого признака х и объём осредняемого признака w, то для расчёта средней применяется гармоническая взвешенная:

,

где х – значение осредняемого признака х (варианта); w – вес варианты х, объем осредняемого признака.

Например, рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности производства в агробизнесе (Табл.6):

Таблица 6

Валовой сбор и урожайность подсолнечника по Центрально-Черноземному району (в хозяйствах всех категорий)

Определить среднюю урожайность по Центрально-Чернозёмному району.

Здесь в исходной информации веса (площадь областей) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь wi=xi*fi , поэтому , а средняя урожайность будет равна .

Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов.

3.1.2.2. Средняя гармоническая невзвешенная (простая)

Эта форма средней, используемая значительно реже, имеет следующий вид:

,

где х – значение осредняемого признака; n – число значений х.

Т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.

На практике средняя гармоническая простая применяется редко, в тех случаях, когда значения w для единиц совокупности равны.

Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.