Например, вектор

ξ = (0, …, 1, …, 0)

Описывает i-ю чистую стратегию игрока 1, поскольку с вероятностью единица будет выбрана i-я стратегия. Таким образом, вешанные стратегии расширяют понятие чистой стратегии.

Игра, в которой помимо чистых рассматриваются, и смешанные стратегии, называется смешанным расширением исходной игры.

Основной в теории игр двух игроков является следующая теорема о минимаксе:

Любая антагонистическая матричная игра имеет поло­жение равновесия, если допускается использование смешанных стратегий.

В смешанном расширении исходной игры ожидаемый выигрыш игрока 1 определяется как математическое ожидание, при условии, что он применяет смешанную стратегию ξ, а игрок 2 пользует свою стратегию j:

ξ 1a1j + ξ2a2j + … + ξmamj = , j = 1, …, n.

Как и в случае использования только чистых стратегий, игрок 1 стремится получить максимальный из гарантированных возможных выигрышей и выбирает стратегию ξ так, чтобы иметь максимальный из минимальных значений ожидаемых выигрышей:

max min

ξ j (4)

Игрок 2 стремится достигнуть минимального из максимальных значений ожидаемых проигрышей, поэтому выбирает стратегию η так:

min max

η i (5)

Теорема о минимаксе гарантирует существование положения равновесия, то есть оптимальных стратегий ξ* = (ξ*1, ξ*2, …, ξ*m) и η* = (η1*, η1*, …, η1*). Тогда для любых стратегий ξ и η выполнены условия: ξi ηj*aij

и

Обозначим

(6)

Следовательно, существует хотя бы одна пар смешанных стратегий ξ* и η*, при которых возникает ситуация равновесия с седловой точкой v – максимальным ожидаемым выигрышем игрока 1 и минимальным ожидаемым выигрышем игрока 2.

Явный поиск оптимальных стратегий с помощью формул (4) и (5) сложен. Ниже будут рассмотрены приемлемые на практике методы поиска оптимальных стратегий и положения равновесия.

Таким образом, вполне определенная игра имеет положение равновесия, если игроки используют только чистые стратегии. Решение может быть не единственным. Не полностью определенная игра имеет положение равновесия, но при этом хотя бы один игрок использует смешанную стратегию. Если один игрок использует свою оптимально смешанную стратегию, то другому также выгодно придерживаться своей оптимально смешанной стратегии.

Так, ранее рассмотренная игра, моделирующая конкуренцию предприятий, является вполне определенной. Положению равновесия соответствует 3-я чистая стратегия игрока 1 и 2-я стратегия игрока 2. А игра, моделирующая кредитование проекта, не является вполне определенной, положения равновесия в чистых стратегиях в ней нет, оптимальные смешанные стратегии игроков будут найдены ниже.

Чем больше размер платежной матрицы игры, тем сложнее анализ. Однако в некоторых случаях можно исключить некоторые стратегии игроков, поскольку игроки их иногда не используют. Действительно если результат стратегии ξ’’ игрока 1 хуже результата стратегии ξ’ при любых действиях игрока 2, то при анализе игры стратегию ξ’’ можно игнорировать.

Стратегия ξ’ игрока 1 доминирует его стратегию ξ’’, если для всех чистых стратегий j=1, …, n игрока 2 выполняются неравенства

Стратегия ξ’ называется доминирующей, а стратегия ξ’’ доминируемой.

Аналогично стратегия η’ игрока 2 доминирует его стратегию η’’, если для всех чистых стратегий i=1,…, m игрока 1 выполнено

Считая векторы ξ и η единичными, получаем формулировку определения доминирования для чистых стратегий.

Стратегия i' игрока 1 доминирует его стратегию i" (строка платёжной матрицы i' доминирует строку i"), если

для всех j=1 ,…,n.

Аналогично, стратегия j' игрока 2 доминирует его стратегию j" (столбец платёжной матрицы j' доминирует столбец j") если

для всех i = 1, ., m.

Доминирующая стратегия не хуже, а может быть и лучше доминируемой, поэтому игроку не следует использовать доминируемую стратегию. Существуют оптимальные стратегии, при которых вероятность использования доминируемых строк и столбцов равна нулю, поэтому эти строки и столбцы в платёжной матрице можно исключить.

Таким образом, пусть v - седловая точка некоторой игры с платёжной матрицей А­m*n. Пусть стратегия i игрока 1 доминируема в этой игре (т.е. доминируема i-я строка матрицы А). Пусть - матрица, полученная из матрицы А вычёркиванием i-и строки. Тогда в игре седловая точка . Любая оптимальная стратегия игрока 2 в игре с матрицей является оптимальной в игре с матрицей А. Если - оптимальная стратегия игрока 1 в игре с матрицей , то стратегия ξ = (ξ1, ξ2, …, ξm) = является оптимальной в игре с матрицей А.

Аналогично для игрока 2.

Используя эти утверждения, можно понижать размерность платежной матрицы, а затем применять теорему о минимаксе.

Например, в игре, моделирующей конкуренцию предприятий, 1-я строка доминирует 4-ю, т.е. игрок 1 не будет использовать свою 4-ю чистую стратегию, поэтому её можно не рассматривать. Упрощённая платёжная матрица игры: