Введение

Модели и моделирование очень важны в современном мире. Они позволяют человеку легко и безопасно события и явления, анализировать их и интерпретировать результаты.

Совершенствование современных компьютеров позволило существенно расширить область применения моделей и моделирования. Они используются практически везде.

Будем считать, что модель- это объект, который заменяет оригинал в целях анализа и изучения, сохраняя его существенные характеристики. Под моделированием обычно понимают два различных процесса: создание модели и работа с уже созданной моделью, ее исследование в целях получения требуемых результатов и выводов.

Можно моделировать иным образом, заменяя оригинал не материальным предметом, а абстрактным, например, схемой, графиком, формулой или набором правил, которым подчиняется данный оригинал.

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное с помощью математической символики.

Принятие решений при совместных действиях

Рассмотрим ситуации в которых важную роль играют совместные действия участников. Если принятие решения зависит от нескольких участников, то, как правило, неизбежен конфликт, так как крайне редко все участвующие имеют одинаковые цели и интересы. В этом случае конфликт понимается как ситуация, которую формируют различные участники, имеющие не совпадающие цели (не обязательно противоположные). Один из способов изучения и анализа таких ситуаций - моделирование в терминах теории игр.

Теоретическая возможность применять игровые модели имеется для любой ситуации с несколькими участниками, например, для любого микро-, макроэкономического или социального явления. Фактическая возможность такого применения зависит не только от адекватности модели реальной ситуации и возможности аналитического или численного решения, но и от формулировки принципа оптимальности. Единого принципа оптимальности нет, и причина этого скорее в противоречивости содержания конфликта, чем в недостатках математического аппарата. Например, понятие оптимального решения должно учитывать справедливость результата для всех участников (каждый участник должен считать принятое решение справедливым для себя и, желательно, для остальных), что можно понимать по-разному.

Разумеется, на практике применяются некоторые принципы оптимальности. Например, для принятия решения участниками используется голосование (“за” должен быть некоторый процент участников, например, половина плюс один или две трети); диктатура (одним участником (диктатором) принимается решение, остальные к нему присоединяются, точнее - остальные подчиняются); консенсус (для всех участников достигается полное единодушие мнений); анархия (каждый поступает как считает нужным) и т. д.

Для реализации этих принципов не обязательны предварительные консультации и соглашения между участниками. Предполагается, что каждый участник имеет своё мнение о том, как ему действовать. К сожалению, при таких условиях невозможно принятие обоснованного коллективного решения.

Строгая формулировка последнего утверждения составляет теорему Эрроу:

Пусть на множестве возможных решений введено отношение предпочтения. Оно обозначается x>y : решение х лучше у для некоторого участника. Если правило принятия решения участниками удовлетворяет условиям

1) транзитивности, т. е. если решение х лучше у, а у лучше z, то решение х лучше z: если x>y ,y>z , то x>z;

2) полноты, т. е. из любых двух решений можно выбрать лучшее;

3) единогласия, т. е. если для всех участников решение х лучше у, то коллективное решение х также лучше у.

4) независимости, т. е. при сравнении решений х и у другие решения не рассматриваются.

Тогда это правило принятия решения - диктатура, т. е. присоединение участников к решению одного, независимо от их личных предпочтений.

Однако после консультаций некоторые участники могут изменить своё решение, они могут договориться о сотрудничестве (создать коалицию), пойти на уступки или потребовать плату за изменение решения. Тогда может быть осуществимо демократическое коллективное принятие решения.

Антагонистические игры

Рассмотрим простейшую модель антагонистической игры. В ней участвуют два игрока, у каждого имеется конечное число стратегий, а их интересы противоположны — выигрыш одного равен проигрышу другого.

В этом случае для элементов платёжной матрицы выполнено условие

aij + bij = 0 (1) так как выигрыш 1-го игрока равен проигрышу 2-го при избрании ими любых стратегий. Следовательно, в платёжной матрице такой игры в каждой паре числа равны по модулю и противоположны по знаку. Для упрощения записи в платёжной матрице такой игры каждый элемент — одно число aij. Это — выигрыш 1-го игрока.

bij = - aij

- соответствующий проигрыш 2-го.

Эта же модель включает в себя игры с постоянной суммой, в них для элементов платёжной матрицы выполнено условие aij + bij = const

Рассмотрим простейшие примеры ситуаций, которые можно рассматривать как модели антагонистических игр.

Пусть два предприятия, ограниченные одним рынком сбы­та, выпускают продукцию одинакового назначения, но разного типа. Будем считать, что 1-е предприятие выпускает продукцию А1, а2 а3 и A4, а 2-е предприятие — В1, В2 и B3. Себестоимость и продажная цена любого типа продукции одинаковы. Имеется прогноз рынка сбыта: гарантирован, сбыт всего 1000 единиц продукции и просчитан прогнозируемый сбыт каждого вида продукции (табл. 1).

Таблица 1

Данные таблицы интерпретируются следующим образом: если 1-е предприятие выпускает продукцию А1, а 2-е предпри­ятие — продукцию В2, то сбыт составляет 500 единиц продукции А1 и 500 единиц продукции В1, если 1-е предприятие выпускает продукцию А2, а 2-е предприятие — продукцию В1, то сбыт со­ставляет 100 единиц продукции А2 и 900 единиц продукции В1. Пусть доход от продажи единицы продукции равен одной де­нежной единице, а мощности каждого из предприятий достаточ­ны, чтобы полностью обеспечить рынок.