v = max min aij = 700

i j

Игрок 2 также рассматривает наихудшие варианты и стремится обеспечить себе максимальный выигрыш (минимально выигрыш своему противнику). Если игрок 2 выберет 1-й столбец, то игрок 1 может выбрать 3-ю строку и обеспечить себе выигрыш 900. Выигрыш игрока 2 при этом – 100. Если игрок 2 в, берет 3-й столбец, то игрок 1 может выбрать 3-ю строку и обеспечить себе выигрыш 800, а выигрыш игрока 2 при этом – 200. Следовательно, игрок 2 может рассматривать только максимальные элементы каждого столбца. Они выписаны под матрицей. Выбрав среди них наименьший (700), игрок 2 имеет гарантированный проигрыш не больше 700, т.е. выигрыш не меньше 300 (1000 - 700 = 300) при любых деиствиях игрока 1. Таким образом, для игрока 2 минимаксной является 2-я стратегия, она оптимальна, а минимакс:

v* = min max aij = 700

j i

Рассуждая аналогично, найдём максимин и минимакс в игре, моделирующей кредитование проектов банком. Платёжная матрица этой игры:

0

100

320

720 600 680 340 450

максимин и минимакс (курсив):

v = max min aij = 320

i j

v* = min max aij = 340

j i

Максиминная стратегия игрока 1- выбрать 3-ю строку платёжной матрицы (кредитовать проект 3). Она ему гаранти­рует, что какая бы не сложилась финансовая ситуация, он получит выигрыш не меньше 320.

Для природы минимаксной является 4-я стратегия. Если цель природы - гарантированно максимально уменьшить выиг­рыш игрока 1, то ей следует создать неблагоприятную финансо­вую ситуацию.

Если игрок 1 следует максиминной стратегии, то его выиг­рыш v в игре будет не меньше максимина v , а если игрок 2 вы­бирает минимаксную стратегию, то его проигрыш (-v) будет не больше минимакса v*, т.е.

v = max min aij ≤ v ≤ v* = min max aij

i j j i

В антагонистической игре всегда v ≤ v*. Если выполнено строгое равенство

v = v*,

то стратегии игроков являются совместимыми, а платёжная матрица имеет седловую точку:

v = v­ = v*­ = max min aij = min max aij

i j j i

являющуюся одновременно минимаксом и максимином.

Так, в игре моделирующей конкуренцию между двумя предприятиями, максимин и минимакс совпадают:

v­ = max min aij = min max aij=v* =700

i j j i

платёжная матрица имеет седловую точку а32, стратегии игроков совместимы. Игрок 1 выбирает 3-ю стратегию, игрок 2 - 2-ю, каждый получает свой гарантированный выигрыш (700 и 300).

Седловая точка соответствует равновесию в игре. При этом, если один из игроков выбирает стратегию, соответствую­щую положению равновесия, то другому также выгоднее всего избрать стратегию, отвечающую седловой точке. Тогда каждый игрок получает свой гарантированный платёж (выигрыш или проигрыш). Выбор другой стратегии может уменьшить гаранти­рованную прибыль или увеличить возможные потери.

Например, если игрок 2 в модели конкуренции предприятий выберет 3-ю стратегию, то он может получить выигрыш 500 (если игрок 1 выберет 1-ю стратегию), а может - только 200 (если иг­рок 1 изберёт свою оптимальную 3-ю стратегию).

Игра двух игроков с нулевой суммой, имеющая седловую точку, называется вполне определённой. Игры, в которых выпол­няется строгое равенство

v­ = max min aij < v*= min max aij,

i j j i

называются не полностью определёнными играми.

Игра, моделирующая кредитование проектов, является не полностью определённой, так как в ней выполнено строгое неравенство:

v­ = max min aij =320 <340= v*= min max aij,

i j j i

Если в игре не существует положения равновесия, т. е.

v­ = max min aij < v*= min max aij,

i j j i

то максиминная и минимаксная стратегии не являются оптимальными. Игрокам может быть невыгодно следовать им, так как возможен больший выигрыш или меньший проигрыш.

Действительно, пусть в игре кредитования проектов игрок 1 выбирает свою 3-ю максиминную стратегию (при которой его выигрыш равен 320) и ожидает, что при этом игрок 2 выберет 2-ю стратегию (поскольку максимин а32 = 320), а игрок 2 выберет свою 4-ю минимаксную стратегию и ожидает, что игрок 1 выберет 2-ю стратегию и получит выигрыш 340 (так как минимакс а24 = 340). Тогда игрок 1 получает выигрыш 330 (поскольку а34 = 330), не предполагавшийся ни одним из игроков.

Фактически для не вполне определённых игр происходит распределение разницы

v­ - v* = min max aij - max min aij

j i i j

между игроками.

Если игра не вполне определённая, то минимаксная и максминная стратегии не являются оптимальными для игроков. Игроки могут получить больший выигрыш, избирая другие стратегии, но при условии, что противнику не известен их выбор. В ситуации равновесия игроки знают оптимальные стратегии друг друга и знают, что будут им следовать. В не вполне определенной игре игроки должны позаботиться о скрытности своей стратегии. Наибольшую секретность выбора стратегии обеспечивает случайность: противник не может знать выбор игрока, так как этот выбор не известен самому игроку до реализации случайного механизма.

Рассматривавшиеся выше стратегии называются чистыми. В случае не вполне определённой игры игрокам разумно действовать случайно, при этом противнику не известен способ выбора стратегии. Для описания случайного выбора стратегии вводится понятие смешанной стратегии.

Смешанная стратегия - это набор чистых стратегий, выбранных случайно с некоторыми вероятностями.

Рассмотрим платёжную матрицу антагонистической игры

Строки платёжной матрицы являются чистыми стратегиями игрока 1, а столбцы платёжной матрицы являются чистыми стратегиями игрока 2. Пусть ξi- вероятность выбора i-й чистой стратегии игроком 1 при использовании им смешанной стратегии ξ, а ηj - вероятность выбора j-й чистой стратегии игроком 2 при использовании им смешанной стратегии η. Тогда смешанная стратегия ξ игрока 1 запишется в виде вектора вероятностей

ξ = (ξ1, ξ2, … ξм), , ξi ≥ 0, i =1, …, m.

Например, в игре, моделирующей кредитование проектов вектор ξ (0; 0,2; 0,8) описывает смешанную стратегию, при которой игрок 1 выбирает строку 2 платёжной матрицы с вероятностью 0,2 и строку 3 — с вероятностью 0,8 (т.е. 1-ю чистую стратегию не выбирает никогда, 2-ю чистую стратегию использует каждый пятый раз, а 3-ю — каждые четыре раза из пяти).

Аналогично, смешанная стратегия η игрока 2 описывается вектором вероятностей

η = (η 1, η 2, … η м), , η j ≥ 0, j=1, …, n.

Чистые стратегии являются частным случаем смешанны они описываются единичными векторами вероятностей ξi = 1, ξj = 0, i ≠ j, i = 1, …, m.