Пример 4. Перевести десятичную дробь А = 0,625 в двоичную систему счисления (q2 = 2 ).

Решение.

Ответ: А2 = 0,10102.

Пример 5. Перевести двоичную дробь А2 = 0,11012 в десятичную систему счисления (q2 = 10102).

Решение.

Ответ: A10 = 0,812510.

При переводе правильных дробей из одной системы счисления в другую можно получить дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда. Процесс перевода можно закончить, если появится дробная часть, имеющая во всех разрядах нули, или будет достигнута заданная точность перевода (получено требуемое количество разрядов результата). Последнее означает, что при переводе дроби необходимо указать количество разрядов числа в новой системе счисления. Естественно, что при этом возникает погрешность перевода чисел, которую надо оценивать.

Для перевода неправильных дробей из одной системы счисления в другую необходим раздельный перевод целой и дробной частей по правилам, описанным выше. Полученные результаты записывают в виде новой дроби в системе с основанием q2.

Пример 6. Перевести десятичную дробь А = 98,625 в двоичную систему счисления

(q2 = 2).

Решение. Результаты перевода соответственно целой и дробной частей возьмем из примеров 2 и 4.

Ответ: A2 = 1100010,1010.

Табличный метод перевода. В простейшем виде табличный метод заключается в следующем: имеется таблица всех чисел одной системы с соответствующими эквивалентами из другой системы; задача перевода сводится к нахождению соответствующей строки таблицы и выбору из нее эквивалента. Такая таблица очень громоздка и требует большой емкости памяти для хранения.

Другой вид табличного метода заключается в том, что имеются таблицы эквивалентов в каждой системе только для цифр этих систем и степеней основания (положительных и отрицательных); задача перевода сводится к тому, что в выражение ряда (3) для исходной системы счисления надо подставить эквиваленты из новой системы для всех цифр и степеней основания и произвести соответствующие действия (умножения и сложения) по правилам q2 -арифметики. Полученный результат этих действий будет изображать число в новой системе счисления.

Пример 7. Перевести десятичное число А = 113 в двоичную систему счисления, используя следующее соотношение эквивалентов и степени основания:

Десятичное число 100 101 102

Двоичный эквивалент . 0001 1010 1100110

Решение. Подставив значения двоичных эквивалентов десятичных цифр и степеней -oснования в (11), получим

A=113=1·102+1·101+3·100=0001·1100100+0001·1010+0011·0001=11100012. Ответ: 11100012.

Пример 8. Перевести двоичное число А2 = 11001,1 в десятичную систему счисления:

Двоичное число 0,1 00001 00010

Десятичный эквивалент . 2-1=0,5 20 = 1 21= 2

Двоичное число 00100 01000 10000

Десятичный эквивалент . 22 = 4 23 = 8 24 = 16

Решение. А = 1·16+1·8+0·4+0·2+1·1+1·0,5 = 25,5. Ответ: А = 25,5.

Использование промежуточной системы счисления. Этот метод применяют при переводе из десятичной системы в двоичную и наоборот. В качестве промежуточной системы счисления можно использовать, например, восьмеричную систему.

Рассмотрим примеры, в которых перевод одного и того же числа в разные системы счисления осуществляется методом деления на основание новой системы. Запись будем вести в столбик, где справа от вертикальной черты записываются остатки деления на каждом шаге, а слева — целая часть частного.

Пример 9. Перевести десятичное число А =121 в двоичную систему счисления, используя в качестве промежуточной восьмеричную систему счисления.

Решение.

Ответ: А = 121 = 1718 = 11110012.

Сравнивая эти примеры, видим, что при переводе числа из десятичной системы в восьмеричную требуется в два с лишним раза меньше шагов, чем при переводе в двоичную систему. Если при этом учесть, что восьмеричная система связана с двоичной соотношением 8k = (23)k, то перевод из восьмеричной системы в двоичную и наоборот можно осуществить простой заменой восьмеричных цифр их двоичными эквивалентами. Триада — двоичный эквивалент восьмеричных цифр.