После нахождения максимальной степени основания проверяют «вхождение» в заданное число всех степеней нового основания, меньших максимального. Каждая из отмеченных степеней может «входить» в ряд не более q2 -1 раз, так как для любого коэффициента ряда накладывается ограничение:

(12)

Пример 1. Перевести десятичное число А = 96 в троичную систему счисления (q2 = 3).

Решение. 96=0·35 + 1·34 + 0·33 + 1·32 + 2·31 + 0·30 = 101203.

Ответ: a3 =10120.

Здесь и в дальнейшем при записи десятичных чисел индекс опускается.

Рассмотренный в примере 1 прием может быть использован только при ручном переводе. Для реализации машинных алгоритмов перевода применяют следующие методы.

Перевод целых чисел делением на основание q2 новой системы счисления. Целое число Аq2 в системе с основанием q2 записывается в виде

Переписав это выражение по схеме Горнера, получим

(13)

Правую часть выражения (13) разделим на величину основания q2. В результате определим первый остаток b0 и целую часть . Разделив целую часть на q2, найдем второй остаток b1. Повторяя процесс деления k + 1 раз, получим последнее целое частное bk которое, по условию, меньше основания системы q2 и является старшей цифрой числа, представленного в системе с основанием q2.

Пример 2. Перевести десятичное число А = 98 в двоичную систему счисления (q2 = 2).

Решение.

Ответ: А2 = 1100010.

Пример 3. Перевести двоичное число А2 = 1101001 в десятичную систему счисления (q2 = 10 ). Основание q2 изображается в двоичной системе эквивалентом q2 = 10102.

Решение.

Ответ: на основании таблицы 1 можно записать: b0 = 01012 = 5; b1 = 00002 = 0; b2 = 00012 = 1; A = 105.

Этот способ применяют только для перевода целых чисел. Перевод правильных дробей умножением на основание q2 новой системы счисления. Пусть исходное число, записанное в системе счисле­ния с основанием q1 имеет вид

Тогда в новой системе с основанием q2 это число будет изображено как 0, b-1, ., bs, или

Переписав это выражение по схеме Горнера, получим

(14)

Если правую часть выражения (14) умножить на q2, то получится новая неправильная дробь, в целой части которой будет число b-1. Умно­жив затем оставшуюся дробную часть на величину основания q2, получим дробь, в целой части которой будет b-2, и т. д. Повторяя процесс умноже­ния s раз, найдем все s цифр числа в новой системе счисления. При этом все действия должны выполняться по правилам q1 -арифметики, и следователь­но, в целой части получающихся дробей будут проявляться эквиваленты цифр новой системы счисления, записанные в исходной системе счисления.