111. Периметры оснований правильной шестиугольной усе­ченной пирамиды АВСВЕРА\В1С\В\Ё\Р\ 28 и 124 см. Рас­стояние от вершины А \ меньшего основания до прямой СЕ равно 17 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пира­миды.

112. Основания усеченной пирамиды — ромбы с отно­шением сторон 3 : 4 и длинами сторон 15 и 25 см. Одно из боко­вых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно мень­шей диагонали меньшего основания. Найдите площадь по­верхности усеченной пирамиды.

Правильные многогранники

113. Докажите, что тетраэдр с вершинами в центрах масс граней правильного тетраэдра — правильный. Как относятся площади поверхностей этих тетраэдров?

114. В каком отношении делятся при пересечении высоты правильного тетраэдра?

115. Для каких п можно построить сечение октаэдра плос­костью, являющееся правильным ге-угольииком?

116. Докажите, что градусные меры двугранного угла пра­вильного тетраэдра и угла между смежными гранями октаэдра в сумме составляют 180°.

117. Точка О — середина высоты МО правильного тетраэдра МАВС. Докажите, что лучи ОА, 0В, ОС попарно взаимно пер­пендикулярны.

Движения

118. Сколько центров симметрии имеют две параллель­ные плоскости? Какую фигуру образуют все эти центры?

119. Постройте фигуру, симметричную данной треугольной пирамиде относительно центра масс ее: а) основания; б) данной боковой грани.

120. Постройте фигуру, симметричную дайной правильной га-угольной пирамиде (п == 4; 6; 3) относительно середины: высо­ты пирамиды.

121. АВСВА\В\С\В\ — параллелепипед, точка М 6 ал. Постройте отрезок МN, у которого середина находится на плос­кости СС\А, а точка N лежит на ребре СВ.

122. Постройте отрезок с концами на ребрах АВ и МС и сере­диной на высоте МО правильной пирамиды МАВС.

123. Докажите, что любую четырехугольную пирамиду можно пересечь плоскостью так, чтобы сечение имело центр симметрия.

124. Напишите уравнение плоскости, которая симметрична плоскости х + у -\- г — 3=0 относительно точки М (2; 2; 2).

125. Дан квадрат АВСВ с вершинами А (4; 0; 0) и В (8; 3; 0), плоскость которого параллельна осж Ог. Найдите координаты вершин квадрата, который симметричен данному относительно точки (2; 2; 2).

126. МАВСВ — правильная пирамида. Постройте фигуру, симметричную относительно плоскости основания: а) средней линии боковой грани (два случая); б) отрезку, соединяющему центры масс граней МАВ и МВС; в) грани МАО.

127. АВСА\В\С\ — правильная приема. Постройте фигуру, симметричную относительно плоскости АВВ\: а) отрезку В^', б) данному отрезку с концами на ЕС и А\С\.

13В. Все ребра пирамиды МАВСВ равны. Найдите на плос­кости ее основания точку, равноудаленную от точек Р и У, лежа­щих на МА и МС.

129. Точки В и Е находятся на боковых гранях правиль­ной пирамиды МАВС. Найдите на плоскости АВС точку с наи­меньшей возможной суммой расстояний от В и Е.

130. Точки В и Е находятся на высоте треугольной пи­рамиды МАВС. Постройте на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от точек В и Е.

131. Точки В та Е находятся на стороне основания правиль­ной пирамиды МАВС. Найдите на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от В и Е.

132. На гранях АВВ\А\ и ВСС\В{ правильной треугольной приемы АВСА\В\С\ даны точки В и Е. Постройте равнобедрен­ный треугольник, у которого вершина находится на ВВг, концы основания — на АВ и ВС, а боковые стороны проходят че­рез В и Е.

133. Точки В и Е находятся на гранях МАВ и МВС пра­вильной пирамиды МЛ.ВС. Постройте равнобедренный треуголь­ник с вершиной на МВ, концами основания на АВ и ВС, чтобы боковые стороны содержали В у. Е.

134. Точки Е и Р находятся на гранях МАВ и МСО правиль­ной четырехугольной пирамиды МАВСО. Постройте равнобокую трапецию, у которой одно основание лежит на основании пирамиды, концы другого — на ребрах МВ и МС, а боковые стороны содержат точки Е и Р.

135. АВСВЕРА\В\С\В\Е\Р\ — правильная призма. Построй­те на ее поверхности все точки, принадлежащие плоскости сим­метрии плоскостей: а)АА\В та СС\Р', б) АА\В и АА\Е; в) АА\В и АА\В; г) АА^В и ВВ\С; д) АА^С и ВВ^Р; е) АА^В и ВВ\Е;

ж) АА ,С и ВВ\Р.

Равенство пространственных фигур

136. Равны ли две треугольные призмы, если три стороны основания и боковое ребро одной равны трем сторонам осно­вания и боковому ребру другой? Если нет, то какое нужно до­полнительное условие, чтобы утверждать, что призмы равны?

137. Две пирамиды имеют равные высоты, их общее осно­вание — квадрат АВСО. Докажите, что эти пирамиды равны, если их вершины ортогонально проектируются: а) в точки А и С; б) середины двух сторон квадрата.

138. авсва\в[с\в\ — куб. Докажите, что пирамиды АВСВ\ и 1)В\С\В\ равны.

139. Сформулируйте несколько признаков равенства пра­вильных призм. Обоснуйте эти признаки.

140. Сформулируйте несколько признаков равенства пра­вильных пирамид. Обоснуйте эти признаки.

141. Докажите, что две треугольные призмы равны, если их боковые грани соответственно равны.

142. Равны ли две прямые треугольные призмы, если все диагонали их боковых граней соответственно равны?

143. МАВСВЕР — правильная пирамида. Докажите равен­ство пирамид: а) МАВС и МВЕР; б) МВСЕ и МАРВ.

144. АВС^ЕРА^В^С^^^Е^Р^ — правильная призма. Рав­ны ли пирамиды: а) С^ВСВ и ЕЕ\В\Р^, б) А^АВР и С\СВЕ;

в) ВАА^В и А^СС^ВЧ

Цилиндр

145. Какую фигуру образуют все точки, удаленные от дан­ной прямой I на. а и равноудаленные от данных точек А и В?

146. Постройте изображение вписанных в окружность пра­вильного восьмиугольника и правильного двенадцатиуголь­ника.

147. Изобразите вписанный в окружность прямоугольный треугольник с отношением катетов 2 : 3.

148. Изобразите две равные хорды окружности, пересекаю­щиеся в данной точке М под прямым углом.

149. Изобразите две равные хорды окружности, пересекаю­щиеся в данной точке М под углом в 60°.

150. Постройте касательную к данному эллипсу в данной точке этого эллипса.

151. Постройте изображения описанных около окружности ромба с углом 45° и равнобокой трапеции с углом 45° при боль­шем основании.

152. Вершины прямоугольника лежат на окружностях осно­ваний цилиндра, у которого радиус 13 см, а образующая 32 см. Зная, что стороны прямоугольника относятся, как 1 : 4, найдите его площадь.

153. Диагональ осевого сечения цилиндра равна сумме его радиуса и высоты. Найдите отношение сторон осевого сечения цилиндра.

154. Диаметр барабана лебедки 530 мм, его длина 727 мм. За время работы на барабан наматывается 225 м троса диамет­ра 17 мм. Во сколько слоев наматывается трос?

155. Около данного цилиндра опишите правильную четырех­угольную пирамиду, высота которой вдвое больше высоты цилиндра.

156. Высота и основание равнобедренного треугольника 8 и 6 см. Цилиндр касается всех сторон треугольника, его обра­зующие наклонены к плоскости треугольника под углами по 30°. Найдите радиус цилиндра.

157. Найдите радиус равностороннего цилиндра, у которого ось лежит на диагонали куба с ребром а, а каждая из окруж­ностей оснований касается трех граней куба, имеющих об­щую вершину.