182. Стороны треугольника АВС 25, 29, 36 см, его ортого­нальная проекция на плоскость 6 — А А\В\С\. Ортогональная проекция треугольника а\в}с\ на плоскость АВС— ^А^В^Сч,

стороны которого 12, 17, 25см. Найдите угол между плоско­стями АВС и 6.

183. Докажите, что при параллельном проектировании двух многоугольников, лежащих в одной плоскости, на одну и ту же плоскость площади проекций относятся, как площади многоугольников.

184. На плоскости 6 находятся квадрат и треугольник. Периметр квадрата 32 см, стороны треугольника 13, 37, 40 см. Проекция квадрата на плоскость б — прямоугольник со сто­ронами 5 и 8 см. Определите площадь проекции треугольника на плоскость 6.

185. Проекция квадрата АВСВ на плоскость 6 — прямо­угольник АВЕР, причем ортогональная проекция точки Р делит отрезок АВ в отношении 1 : 3, считая от А. Найдите угол между плоскостями квадрата и прямоугольника.

186. Ортогональная проекция квадрата на плоскость — четырехугольник со сторонами 2 и 4 см и диагональю 5 см. Определите площадь квадрата и угол между плоскостью квад­рата и плоскостью проекции.

Уравнение плоскости

187. Напишите уравнение плоскости, которая проходит че­рез точку М(1; 3; 8) и отсекает на координатных осях равные отрезки.

188. Напишите уравнение плоскости, которая пересекает оси Ох, Оу, Ог в таких точках А, В, С, что АВ = 10, АС ==. 17, ВС == 3 У29.

189. Напишите уравнение плоскости, которая проходит че­рез точки (0; 2; 5), (1; 0; 3), (1; 4; 0).

| 190. Напишите уравнение плоскости, которая пересекает две координатные плоскости по прямым Зх — 2г — 6 == О и Зу + 5г -^- 15 == 0.

191. Напишите уравнение плоскости, которая параллельна оси Ог и проходит через точки А(1; 5; 3) и 5(4; 2; 1).

192. Найдите угол между плоскостями ху и —+ ^—+

_1_ г _ 1 + 12-- 1- ^

ОДИННАДЦАТЫЙ КЛАСС

Многогранник

1. На сколько частей делят пространство плоскости всех граней: а) треугольной призмы; б) куба; в) треугольной пира­миды?

2. Изобразите многогранник с общим числом ребер: а) 11;

б) 13.

3. Докажите, что никакой многогранник не имеет ровно 7 ребер.

4. Изобразите многогранник, отличный от пирамиды, у ко­торого вершин столько же, сколько граней.

5. Даны 5 точек, никакие 4 из которых не лежат в одной плоскости. Определяют ли данные точки единственный много­гранник с вершинами в этих точках?

6. Может ли существовать многогранник с нечетным числом граней, причем все его грани — четырехугольники?

Призма

7. Иногда призму определяют как многогранник, у которого две грани — многоугольники, лежащие в параллельных пло­скостях, а все остальные грани — параллелограммы. Приведите примеры, свидетельствующие о неточности такого определения.

8. Изобразите призму, у которой вершин столько же, сколь­ко диагоналей.

9. Может ли неправильная призма иметь 4 плоскости сим­метрии? Если да, изобразите призму, отвечающую этому ус­ловию.

10. Ребро куба 2 см. Паук находится в центра грани куба. Какой наименьший путь по поверхности куба придется проделать пауку, чтобы попасть х вершину параллельной грани?

11. АВСРЕРА\В\С1Р\ЕлР\ — призма. Докажите, что АВ\ + + ВС) + СД == А?1 + РЁ1 + ЯА.

12. Диагональ боковой грани правильной й®стиугольной призмы образует с плоскостью основания угол, который на 15° больше угла между малой диагональю призмы и пло­скостью основания. Найдите эти углы.

18. А и В — середины двух несмежных боковых ребер правильной шестиугольной призмы. Найдите на плоскости нижнего основания призмы вое такие точки, что прямые МА и МВ образуют равные углы с плоскостью нижнего основания приемы.

14. Верно ли, что площадь боковой грани треуголь­ной призмы меньше суммы площадей остальных боковых граней?

15. Две боковые грани треугольной призмы взаимно перпен­дикулярны. Докажите, что сумма квадратов площадей этих граней равна квадрату площади третьей боковой грани.

16. Три диагонали четырехугольной приемы имеют общую точку О. Докажите, что и четвертая диагональ приемы про­ходит через точку О.

17. Стороны основания прямой треугольной призмы от­носятся, как 5 : 9 : 10. Диагонали двух меньших боковых гра­ней 26 и 30 см. Найдите площадь третьей боковой грани.

18. Пьедестал имеет форму правильной призмы. Проходя мимо него, можно видеть то 3, то 4 боковые грани. Определите число боковых граней пьедестала.

19. Основание призмы — прямоугольный треугольник АВС, две боковые грани (АВВ\А\ и АСС\А\) — квадраты. Найдите ^ В^АСх.

20. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов рас­стояний от всех вершин данной правильной треугольной призмы.

Площадь поверхности призмы

21. Докажите, что площадь боковой грани любой призмы менее половины площади боковой поверхности призмы.

22. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большой диагонали основания. Найдите отноше­ние площадей боковой и полной поверхности призмы.

23. Расстояния боковых ребер треугольной призмы от па­раллельных боковых граней равны 12, 15, 20см; меньшая боковая грань имеет форму квадрата и перпендикулярна плоскости основания. Найдите площадь поверхности призмы.

24. Площадь основания и площади боковых граней прямой треугольной призмы соответственно равны 480, 312, 200, 128 см2. Найдите высоту призмы.

25. Основаш1е прямой призмы — ромб. Зная, что ее высота и диагонали 40, 41, 50 ем, найдите площадь боковой поверхно­сти призмы.

26. Основание прямой шестиугольной призмы вписано в окружность, диаметр которой равен боковому ребру призмы. Три стороны основания, взятые через одну, имеют длины по 5 см, остальные стороны до 3 см. Найдите площадь поверхности призмы.

27. Высота правильной шестиугольной призмы Н. Диагонали двух соседних боковых граней, проведенные иа одной вершины, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверх­ности призмы.

28. Какую наибольшую площадь боковой поверхности может иметь правильная п- угольная призма, у которой диаго­наль боковой грани и?

29. Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см. Площади боковых граней относятся, как 7 : 15 : 20 : 24, длина диагонали наибольшей боковой грани 52 см. Вычислите площадь поверхности призмы.

Сечение призмы плоскостью

30. Докажите, что сечение правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через концы трех ребер, исходящих из одной вершины, является остроугольным тре­угольником.

31. Через боковое ребро треугольной призмы проведены два сечения: одно перпендикулярно противолежащей боковой грани, другое — через ее центр. Зная, что плоскости сечений делят угол между двумя боковыми гранями на три равные части, найдите величины двугранных углов между боковыми гранями призмы.

32. Постройте сечение куба плоскостью, не параллельной ни одной грани куба, чтобы оно имело форму квадрата.

33. Ребро куба о. Построено сечение, имеющее форму пра­вильного /г-угольника. Для каких п и как именно можно по­строить такие сечения? Вычислите его площадь для каждого