Задачи ЛоповокРефераты >> Математика >> Задачи Лоповок
75. Если суммы квадратов скрещивающихся ребер треугольной пирамиды равны, то высоты пирамиды пересекаются в одной точке Г Докажите
.
Площадь поверхности пирамидах
76. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, их длины 2, 4, 16 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.
77. Площадь основания треугольной пирамиды равна 56 см2. Боковые ребра взаимно перпендикулярны, их длины составляют арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
78. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь треугольная пирамида, у которой 5 ребер имеют длину а?
79. Двугранный угол между смежными боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды 120°, площадь основания О. Определите площадь боковой поверхности пирамиды.
80. В правильной шестиугольной пирамиде площадь каждого диагонального сечения равна О. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды.
81. Правильная пирамида и правильная призма имеют общие основание и высоту. Может ли площадь боковой поверхности призмы быть меньше площади боковой поверхности пирамиды? Если да,' то при каком условии?
82. Может ли площадь одной боковой грани пирамиды быть равной сумме площадей остальных боковых граней? Может ли она превысить названную сумму площадей? Подкрепите свои соображения примерами.
83. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей основания и диагональных сечений. Найдите величину плоского угла при вершине пирамиды.
84. Из центра основания О правильной четырехугольной пирамиды, площадь поверхности которой О, проведены параллельно боковым ребрам пирамиды прямые ОА\, ОВ\, ОС\, ОВ\ (рис. 63). Найдите площадь поверхности пирамиды ОА1В\С\В\.
Сечение пирамиды
85. Плоский угол при вершине правильной пирамиды — прямой. Как построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды, чтобы оно было равносторонним треугольником?
86. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 20 см, боковое ребро 30 см. Постройте сечение, имеющее форму квадрата, и определите его площадь.
87. Площадь малого осевого сечения правильной четырехугольной пирамиды О. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно стороне основания и делит эту сторону в отношении 1:5.
88. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания 10 см, а боковое ребро 13 см. Найдите площадь сечения, проходящего через центр основания параллельно боковой грани.
89. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды МАВСО равна а, боковое ребро I. Постройте сечение через середины сторон основания АВ и ВС параллельно ребру МВ и определите площадь сечения.
90. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 12 см, а боковое ребро 11 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону основания перпендикулярно противолежащей боковой грани.
91. Периметр основания правильной треугольной пирамиды 45 см, боковое ребро 14 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через середину медианы основания перпендикулярно этой медиане.
92. Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и среднюю линию параллельной боковой грани про-
о ведено сечение. Докажите, что его площадь больше — площади
основания.
93. Через сторону основания правильной шестиугольной пирамиды и среднюю линию параллельной боковой грани про-
ведена плоскость. Докажите, что площадь сечения больше —
площади основания.
94. Основание пирамиды МАВСВ — ромб с диагоналями АС = 24 см, ВО == 21см. Боковое ребро МА == 18 см перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершину А и середину ребра МС параллельно диагонали ВО основания (рис. 64)
Параллельные сечения пирамиды
95. Построены два сечения пирамиды плоскостями, перпендикулярными боковому ребру. Относятся ли площади этих сечений как квадраты их расстояний от вершины пирамиды?
96. Площадь основания пирамиды 128 см2. Площади двух сечений, параллельных основанию, 18 и 50 см2, расстояние между плоскостями сечений 12 см. Найдите высоту пирамиды.
97. Боковое ребро и высота правильной четырехугольной пирамиды 35 и 28 см. В пирамиду вписан куб так, что его 4 вершины лежат на основании пирамиды, а 4 — на апофемах пирамиды. Найдите ребро куба.
98. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Высота пирамиды Н == 24 см находится внутри пирамиды. В пирамиду вписан куб так, что 4 вершины его лежат на основании пирамиды, а 4 — на боковых гранях, причем боковые грани куба параллельны катетам основания (рис. 65). Найдите ребро куба.
Усеченная пирамида
99. Докажите, что диагонали правильной четырехугольной усеченной пирамиды пересекаются в одной точке.
100. Площади оснований усеченной пирамиды 75 и 147 см2. Найдите площадь сечения, проходящего через середины всех боковых ребер.
101. Диагональ правильной четырехугольной усеченной пирамиды имеет длину 15 см и делит отрезок, соединяющий центры оснований, на части в 4 и 5 см. Найдите площади оснований усечённой пирамиды.
102. Отрезок 00\ = 27 см, соединяющий центры оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды, разделил ее диагональ на части в 20 и 25 см. Найдите площади оснований.
103. Сторона меньшего основания, боковое ребро и сторона большего основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды составляют арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Высота усеченной пирамиды 7 см. Найдите площади оснований.
104. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде отрезок, соединяющий середину малой диагонали большего основания с центром другого основания, параллелен одному из боковых ребер. Как относятся площади оснований усеченной пирамиды?
105. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований 2 и 5 дм, высота 1 дм. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону меньшего основания параллельно боковому ребру.
106. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды относятся, как 1 : 3. Периметр боковой грани равен
периметру одного из оснований. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.
107. Центр каждого основания правильной треугольной усеченной пирамиды соединен с вершинами другого основания (рис. 66). Найдите длину линии, которая соединяет попарно точки пересечения построенных отрезков, если периметры оснований усеченной пирамиды равны Р и Р\.
Площадь поверхности усеченной пирамиды
108. Стороны основания правильней шестиугольной усеченной пирамиды 5 и 11 см. Расстояние между параллельными сторонами оснований, не лежащими в одной грани, 19 см. Найдите площадь поверхности усеченной пирамиды.
109. Сечение, проходящее через середины всех боковых ребер правильной пирамиды, разделило ее на части, площади полных поверхностей которых относятся, как 3 : 11. Определите двугранный угол при основании пирамиды.
110. Периметры оснований правильной треугольной усеченной пирамиды 18 и 36 см. Расстояние от вершины меньшего основания до противолежащей стороны другого основания 7 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.