остальных.

182. Вычислите величины углов вписанного в окружность

четырехугольника, у которого длины сторон 14, 30, 40, 48.

183. Докажите, что в треугольнике АВС: аЬ сое С +

+ ас соз В + Ьс соа А ^ — Р2.

^•"ж"

' •'. \

184. Медианы АО и ВД треугольника АВС взаимно перпен­ дикулярны, докажите, что 5 АВ2 == АС2' + ВС2.

185. Вычислите (аЪ соа С + ас соа В + Ьс сов А) : (а2 + Ь'г+

-(- с2), где а, Ь, с, /- А, /- В, /- С — элементы одного треуголь­ ника.

186. На диаметре АВ окружности взята точка М; хорда СО параллельна АВ. Докажите, что величина МС2 + МО2 не

1 зависит от выбора точки С.

187. На сторонах треугольника с длинами сторон 5, 6, 7 вне треугольника построены квадраты. Найдите сумму квадра­тов сторон шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, находящиеся вне треугольника.

188. Квадрат произведения длин диагоналей параллело­грамма равен сумме четвертых степеней длин двух смежных сторон. Найдите величины углов параллелограмма.

189. Точка М находится на стороне ВС треугольника АВС. Докажите, что АМ2 • ВС = АВ2 • СМ + АС2 ' ВМ — ВС • ВМ X X СМ.

190. Окружности радиусов 1 и 2 касаются одна другой внешним образом и касаются окружности радиуса 3 внутрен­ним образом. Найдите радиус окружности, которая касается всех трех названных окружностей.

191. Внешние углы треугольника при вершинах А, В, С соответственно а, (3, у, докажите, что аЬ (1 — сое у) -\- ас (1 —

- С08 Р) + ЬС (1 - С08 и) == 4- Р2-

л

192. Докажите, что в треугольнике АВС'. аа ' с ~ ' =

о (6 + с — в)

_ 1 — сов А ~~ 1 — соа В '

193. Докажите, что треугольник АВС — остроугольный, если:

а) его периметр 17 см, а длина наибольшей стороны 7 см; б) его периметр 99 см, а длина наименьшей стороны 29 см.

194. Центр вписанной в прямоугольный треугольник окруж­ности удален от концов гипотенузы на 7 и 5 -л/2 см. Найдите длины сторон треугольника.

195. Докажите правильность формул для вычисления

площади треугольника: 8 =^ — -\/4 а^Ь2 — (о2 + Ь2 —• с2)2 =

= -1- -узГ^Ь2 + оУ + Ь^с2) - (а4 + Ь4 + с4).

196. Докажите, что в треугольнике АВС:

& С08 А + Ъ С08 В + С С08 С Г

о + Ь + с Л

197. Докажите, что в четырехугольнике АВСВ: АВ2 == == 4В2 + ВС2 + СО2 - 2 АВ • ВС . сое В - 2 ВС • СО • сов С+ + 2АВ • СО • соз (А + О).

8 9-12« 65

198. Если сумма квадратов диагоналей выпуклого четырех­угольника равна сумме квадратов двух противолежащих сторон, то продолжения двух других сторон пересекаются по, р прямым углом. Докажите.

Теорема синусов

199. Площадь треугольника АВС равна О. Определите величину а2 вт 2В + Ь2 ат 2А.

200. Точка М находится внутри треугольника АВС. Лучи АМ, ВМ, СМ делят углы треугольника на части ои и оса, ?1 и {За, vi и у-г- Докажите, что вт а\ • вт р) • аш vi ==- ет К2 X

X 8Ц1 ?2 8Ш •У2.

201. Если лучи, исходящие из вершин треугольника, обра­зуют со сторонами при этих вершинах такие углы ои, »2, Рь

^2, vi» 72, ЧТО ЯШ ОЦ 8Ш ?! 81п ^1 == В™ Й2 8П1 ?2 8Ш 72, ТО ЭТИ ЛуЧИ

пересекаются в одной точке. Докажите.

202. Верно ли утверждение задачи 200 для четырехуголь­ника?

203. Докажите, что биссектриса внутреннего угла треуголь­ника делит сторону на части, обратно пропорциональные синусам углов треугольника, прилежащих к отрезкам стороны.

204. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что АН == -——.

205. Диагонали выпуклого четырехугольника АВСВ пере­секаются в точке О. М\ и Мч — центры масс треугольников ВОС и АОВ, Н\ и Й2 — ортоцентры треугольников АВО и СОО. Используя результат задачи 204, докажите, что прямые М\Мч и Й1Й2 взаимно перпендикулярны.

206. АВ и АС — хорды окружности. На продолжении АВ отмечена точка N на расстоянии АВ от АС и на продолжении АС отмечена точка М на расстоянии АС от АВ. Докажите, что МН равен диаметру данной окружности.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

207. Докажите, что в треугольнике Тоа == — "л/262 + 2с2 — о2.

А

208. Используя результат задачи 207, установите, что".

а) т1 + т1 + от? = -|-(о2 + Ь2 + с2); б) от4 + т1 + те4 =

-^(о4+&4+с4).

209. Докажите, что з четырехугольнике сумма квадратов диагоналей меньше суммы квадратов сторон на учетверенный квадрат расстояния между серединами диагоналей.

210. Докажите, что четырехугольник, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, является параллелограммом.

211. Диагонали параллелограмма АВСВ пересекаются в точке О. Периметры треугольников АВО, ВСО и параллело­грамма соответственно 28, 30 и 48 см. Найдите диагонали параллелограмма.

212. Как по длинам сторон и углу между диагоналями параллелограмма найти длины диагоналей?

213. Как по длинам диагоналей и углу параллелограмма найти длины сторон параллелограмма?

ДЕСЯТЫЙ КЛАСС

Аксиомы стереометрии

и следствия из них

1. На двух плоскостях отмечены по две точки. Сколько различных плоскостей определяют эти точки?

2. Сколько различных плоскостей могут определять 5 точек? Подтвердите свой ответ перечислением плоскостей (обозначив точки буквами).

3. Сколько различных плоскостей могут определять 5 данных параллельных прямых? Обоснуйте ответ перечислением этих плоскостей.

4. Окружность имеет общую точку с каждой стороной четырехугольника. Можно ли утверждать, что обе эти фигуры лежат в одной плоскости?

5. Сколько существует плоскостей, каждая из которых содержит, по крайней мере, три вершины данного куба?

6. На сколько областей разбивают пространство плоскости всех граней куба?

7. На каждом из трех параллельных ребер куба отмечено по 2 точки. Сколько различных плоскостей могут определять эти точки?

8. Плоскость б пересекает плоскости ос и Р. Докажите, что если линии пересечения плоскостей пересекаются, то точка их пересечения находится на прямой, по которой пересекаются а и р.

9. Середины всех диагоналей пятиугольника лежат в одной плоскости, причем никакие две из них не совпадают. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.

10. Середины всех сторон многоугольника с нечетным числом вершин лежат в одной плоскости. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.

11. Даны п > 4 точек, каждые 4 из которых лежат в одной плоскости. Докажите, что все эти точки лежат в одной плос­кости.

Параллельность прямых в пространстве

12. Докажите, что две прямые параллельны тогда и только тогда, когда любая плоскость, пересекающая одну из них, пере­секает и другую.

13. Точки А, В, С, В лежат вне плоскости параллелограм­ма К^МN, причем К — середина АВ, Ь — середина ВС, М — середина СО. Является ли N серединой отрезка А07

14. Середины пяти сторон шестиугольника находятся в од­ной плоскости. Докажите, что середина шестой стороны находится в той же плоскости.

15. На двух пересекающихся плоскостях 6 и о дано по точке. Как построить через эти точки прямые, которые не пере­секают ни одной из названных плоскостей?