14. На обломке круга сохранился центр круга О и части хорды АВ без ее концов. Найдите построением величину угла АОВ.

15. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и основания АС треугольника АВС. Кроме того, одна окружность касается боковой стороны АВ треугольника АВС, а другая — боковой стороны ВС.

16. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и основания АВ треугольника АВС. Кроме того, одна из них касается продолжения стороны АВ, а другая — \ продолжения стороны ВС.

17. Даны прямые о и Ъ и точка М, не принадлежащая этим прямым. Постройте две окружности, которые пересекаются в точке М, касаются прямой а и имеют центры на прямой Ь.

18. АВ и АС — хорды данной окружности. Постройте окружность, которая касается данной окружности и сторон угла ВАС.

19. Даны две пересекающиеся прямые и окружность. Постройте окружность, которая касается этих прямых и данной окружности.

20. Постройте прямоугольный треугольник АВС по острому углу А и сумме катета ВС с проведенной к нему медианой.

21. Постройте трапецию по ее высоте и отношению длкт всех сторон АВ : ВС : СО : АВ (основания трапеции Ж и АВ}.

Подобие треугольников

22. Через внутреннюю точку М треугольника АВС постройте прямую, которая отсекает треугольник, подобный треугольнику АВС. Сколько решений имеет задача?

23. В угол вписаны три окружности, одна из которых касается двух других. Докажите, что их радиусы связаны соотношением: г| == Г) • Гз.

24. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Подобны ли эти треугольники?

25. МАВ и МСВ — секущие к окружности. Докажите, что треугольники МАС и МВВ подобны.

26. Через точку пересечения диагоналей четырехугольника АВСВ проведена прямая, пересекающая две его стороны в точках М и N. Из этих точек опущены перпендикуляры на диагонали четырехугольника (рис. 38). Верно ли, что основания перпендикуляров являются вершинами трапеции или параллелограмма?

27. Два треугольника подобны. Разность их больших сторон 12 см, разность их меньших сторон 6 см, длины двух средних стопин 30 и 20 см. Определите периметры треугольников.

28. Периметры двух подобных прямоугольных треугольников относятся, как 1 : 8. У одного треугольника гипотенуза больше большего катета на 16 см, у другого — сумма гипотенузы с меньшим катетом имеет ту же величину. Найдите длины сторон этих треугольников.

29. Два треугольника не равны. Могут ли 5 основных элементов одного треугольника равняться пяти основным элементам другого?

30. Треугольники со сторонами а, Ъ, с и Ь, с, и подобны. Может ли коэффициент подобия равняться 2; 1,6; 0,б?

31. Длины катетов и гипотенузы двух подобных треуголь­ников а, Ь, с и а\, Ь\, с\. Докажите, что аа\ + ЬЬ\ == сс\.|

32. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что АН вдвое больше расстояния от центра | описанной окружности до стороны ВС.

33. О — центр окружности, описанной около остроугольного \ треугольника АВС, ОА + 0В + ОС == ОМ. Докажите, что

Точка М находится внутри треугольника АВС.

34. АА\ и ВВ\ — высоты треугольника АВС, у которого ^С = 60°. Докажите, что точки А\, В\ и середина стороны АВ — вершины равностороннего треугольника.

35. Докажите, что треугольник можно разрезать на любое натуральное число п > 5 подобных ему треугольников.

36. Даны две непараллельные прямые 1\ и 1ч и точки А и В вне этих прямых. Постройте через А и В две параллельные прямые, которые отсекают на 1\ и 1ч отрезки с отношением Длин 2 : 3.

_37. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметьте такие точки D и Е, чтобы АВ == DЕ == ЕС.

38. Из вершины ромба проведены две высоты, расстояние между основаниями которых вдвое меньше диагонали ромба. Найдите величины углов ромба.

39. АВ — диаметр полуокружности. Хорды АС и ВD (или их продолжения) пересекаются в точке М. Докажите, что АС • АМ + ВD • ВМ = АВ2.

40. Диагональ ВВ ромба АВСВ равна его стороне. Точка М находится на луче ВА вне ромба. МС пересекает АВ в точке О. Под каким углом пересекаются прямые МВ и ВО (рис. 39)?

41. Точка М находится внутри треугольника АВС, причем АМ = ВМ. На сторонах АС и ВС вне треугольника АВС по строены треугольники АСР и ВСК, подобные треугольнику АВМ, причем их равные стороны лежат вне треугольника АВС. Докажите, что четырехугольник МРСК — параллелограмм

42. АВСВ — четырехугольник, M1, M2, M3, M4 — центры масс треугольников АВС, ВСВ, СВА, ВАВ. Докажите, что четырехугольники АВСВ и M1M2M3M4 подобны.

43. Длины оснований трапеции 6 и 12 см. Середину каждого основания соединили с концами другого основания, построенные отрезки пересеклись в точках М и N. Найдите расстояние между М и N.

44. Основания трапеции 12 и 36 см. Середину меньшего основания соединили с концами второго основания. Эти отрезки пересекли диагонали трапеции в точках М и N. Найдите расстояние между М и N.

45. В окружность вписан выпуклый четырехугольник АВСD. Докажите, что АС • ВD = АВ • СВ + ВС • АВ.

46. Две хорды пересекаются внутри окружности. Докажите что произведения отрезков этих хорд равны.

47. Две хорды взаимно перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов отрезков этих хорд равна квадрату диаметр окружности.

48. Окружность проходит через вершину А параллелограмма АВСВ и пересекает прямые АВ, АС, АВ в точках Е С|, г>1. Докажите, что АВ • АВ\ + АВ • АВ^ == АС • АС (Рис. 40).

Ломаная

49. Ломаная состоит из 7 звеньев, угол между каждыми двумя смежными звеньями 150°. Докажите, что эта ломан;

имеет два звена, которые лежат на одной прямой или параллельны.

50. Даны п > 2 точек, не все из которых лежат на одной при мой. Докажите, что можно построить простую замкнутую ломаную, на звеньях которой размещаются все данные точки.

51. Сторона квадрата 12 см. Внутри его помещена ломаная длиной 51 см. Докажите, что эта ломаная имеет не менее четы­рех звеньев.

52. На сторонах треугольника АВС вне его построены квад­раты с центрами 0\, Оч, Оз. Точки Ао, Во, Со — середины сто­рон треугольника АВС, СцАоОдВ — параллелограмм (рис. 41). Докажите, что ломаные 0\ВСоОз и О^ВцСоВ равны.

53. Используя результат задачи 52, докажите, что отрез­ки 0\0у. и О^В равны и взаимно перпендикулярны. Выве­дите отсюда один из путей построения треугольника по центрам квадратов, построенных на его сторонах вне тре­угольника.

54. Замкнутая ломаная состоит из 1989 звеньев и не имеет самопересечений. Докажите, что прямая, не проходящая ни через одну вершину ломаной, не пересекает всех звеньев этой ломаной.

55. Турист двигался по ломаной, все звенья которой имели одинаковую длину, и записывал повороты, которые делал в ее вершинах: вправо 15°, 30°, 90°, 105°, влево 120°, вправо 75°, 30°, 90°. Был ли его маршрут замкнутым?

Многоугольник

56. У выпуклого многоугольника 1000 вершин, внутри него даны 2000 точек. Среди этих 3000 точек (вершин и данных) никакие три не лежат на одной прямой. Многоугольник разбит на треугольники, вершинами которых являются только точки из числа названных. При этом треугольники не перекрываются и каждая из 3000 точек является вершиной хоть одного тре­угольника. Определите общее число треугольников.