Вычислив разность превышений между указанными точками, найдем:

h32 = S12(ctg(z12 + δz12) – ctg(z13 + δz13)) + (H2ctg(z12 + δz12) – H3ctg(z13 + δz13)) – ΔS ctg(z13 + δz13) – + + l1 – l2 + S12(U12–U13+Um13–Um12) – ΔS(U13–Um13) + ΔE12 – ΔE13 (1.19)

Формула тригонометрического нивелирования через точку с использованием непосредственно измеренных наклонных расстояний выводится аналогично с условием, что

D13 = D12 + ΔD (1.20)

h32 = – ‑ + + D12(sin(z12+δz12)(U12–Um12) - sin(z13+δz13)(U13–Um13)) + ΔD(U13–Um13) sin(z13+δz13) + + ΔE12 – ΔE13 + l3 – l2 (1.21)

При соблюдении равноплечья члены, содержащие ΔS и ΔD обращаются в ноль, формула существенно упрощается.

Сравнив формулы способов тригонометрического нивелирования можно сделать вывод, что способ двухстороннего нивелирования по измеренным наклонным расстояниям содержит минимальное количество величин, необходимых для вычисления превышений. Раньше, с точки зрения производственного применения способ двухстороннего тригонометрического нивелирования являлся более предпочтительным.

Однако с использованием ЭВМ для вычисления предпочтение можно отдать способу тригонометрического нивелирования через точку.

1.3. Погрешности тригонометрического нивелирования в зависимости от точности измеренных расстояний

Для подсчета суммарных величин погрешностей превышений для способов тригонометрического нивелирования воспользуемся формулой вычисления средней квадратической ошибки:[4]

(1.22)

Полные формулы погрешностей превышений для способов тригонометрического нивелирования получим из формул (1.8), (1.9), (1.16), (1.17), (1.19), (1.21).

Для одностороннего тригонометрического нивелирования по горизонтальным проложениям имеем:

mh2 = ms2 + mH2 + mR2 + (m2Z12 + m2δZ12) + S122(m2U12 + m2Um12) + m2ΔE12 + m2i + m2l (1.23)

Для одностороннего тригонометрического нивелирования по непосредственно измеренным наклонным расстояниям:

mh2 = mD2+ +·(mR2+mH2)+ +(mR2+mH2)+ +mi2+(D12sin(z12+δz12))2(m+m)+ +m+ m (1.24)

Формула полной погрешности превышения для двухстороннего тригонометрического нивелирования по горизонтальным проложениям имеет вид:

m=m+ 2 m + +m+2+ +2 m +Sm+ m+2+2 (1.25)

Аналогично формулу полной погрешности превышения для двухстороннего тригонометрического нивелирования по наклонным расстояниям можно получить подставив в формулу (1.22) (1.17)

Формулу полной погрешности тригонометрического нивелирования через точку по горизонтальным проложениям получим подставив (1.19) в (1.22).

Формула полной погрешности тригонометрического нивелирования через точку при использовании непосредственно измеренных наклонных расстояний выводится путем подстановки (1.21) в (1.22).

Сравнение величин предвычисленных средних квадратических ошибок определения превышений различными способами тригонометрического нивелирования в зависимости от отдельных источников ошибок выполним применительно к принятому подразделению рельефа местности на следующие районы (см. табл. 1.1.):

Плоскоравнинные 89° ≤ z ≤ 91°

Всхолмленные 86° ≤ z ≤ 94°

Горные 80° ≤ z ≤100°

Особые случаи 60° ≤ z ≤120°

К особым случаям относятся построения геодезического обоснования таких сооружений как фуникулеры, подъемники, канатные дороги, когда допускается включать в сеть стороны с зенитными расстояниями от 60° до 120°.

Для сопоставления точностей различных способов тригонометрического нивелирования все расчеты выполним для конкретных величин горизонтальных проложений равных 0,2, 0,6, 1,0, 1,5 2,0, 2,5, 3,0км.

Значения каждого из указанных горизонтальных проложений остаются неизменными для предельных зенитных расстояний, характеризующих район работы.

В расчетах участвуют указанные величины горизонтальных проложений и соответствующие им непосредственно измеренные наклонные расстояния, величины которых предвычисляются по формуле: D=S·cosecZ.

Для этого расчета принимается относительная ошибка определения горизонтальных проложений не более 1/50000, а погрешность непосредственного измерения длин линий от 0,1 до 6 км ± 10 мм.

Таблица 1.1. Величины средних квадратических ошибок превышений в зависимости от точности определения расстояний для различных способов тригонометрического нивелирования