Первая гипотеза учитывает разнообразие условий рельефа по линиям, а вторая идентичность условий наблюдений в точке стояния инструментов.

Рассмотрим теорию различных способов тригонометрического нивелирования

Геометрические построения для этого выполнены на рис. 1.2.

1', 2' места, установки теодолитов;

1,2 - центры знаков на земной поверхности;

1"2" - проекции точек 1 и 2 на поверхность квазигеоида;

1°,2° проекции точек 1 и 2 на поверхность референц-эллипсоида;

1С, 2С- нормали к поверхности референц-эллипсоида, проходящие через точки 1 и 2 соответственно;

1G, 2G - отвесные линии проходящие через точки 1 и 2;

Z12, Z21 - зенитные расстояния точек 1 и 2, отнесенные к нормалям референц-эллипсоида в этих же точках;

z12, z21 - измеренные в точках 1 и 2 зенитные расстояния;

δz12, δz21 - величины углов земной рефракции в точках 1' и 2' по направлению 1-2.

На рис. 1.2 показано, что нормали и отвесные линии пересекаются в точке С и G. На самом деле этого не происходит, точки С и G надо рассматривать как пересечение проекций линий 1С, 2С, 1G, 2G, на плоскость чертежа, совпадающую с плоскостью нормального сечения с точки 1 на точку 2.

Для упрощения обозначим отрезок 11' представляющий высоту инструмента в точке 1 через i1, а 22' через i2. Примем, что высоты инструментов и визирных целей на этих точках равны между собой, то есть i1 = l1 и i2 = l2.

Отрезки 11' и 22', характеризующие абсолютные отметки точек 1 и 2 в системе нормальных высот, обозначим через Н1 и Н2 соответственно.

Высоты точек 1 и 2 над поверхностью референц-эллипсоида равные 11° и 22° обозначим через Q1 и Q2, а высоты квазигеоида над поверхностью референц-эллипсоида в этих же точках обозначим через ζ1 и ζ2.

Проекцию линии 12, изображенную дугами 1°2° ≈ 1"2", на поверхности относимости обозначим через S . Длины этих дуг с точностью до малых величин третьего порядка относительно сжатия принятого эллипсоида можно считать равными длине дуги окружности с радиусом R, определяемым по формуле:

R = (1.7)

где N – радиус кривизны первого вертикала,

А12 – азимут линии 12, а величина

η = e'cos2Bm

где e' – второй эксцентриситет эллипсоида,

Bm – средняя широт точек 1 и 2.

Значения высот по отвесным линиям и нормалям к референц-эллипсоиду можно принимать практически одинаковыми. Разница этих высот в самом неблагоприятном случае, при Н = 7 км, не превышает 0,2мм.

В системе нормальных высот для одностороннего тригонометрического нивелирования имеем:

h12 = S ctg(z12 + δz12) + + i1 – l2 + (U12 – U21)S + ΔЕ12 (1.8)

а для двухстороннего:

h12=S tg+ + - +S + ΔЕ12 (1.9)

где U12 = z12 – Z12 , U21 = z21 – Z21 - наблюдаемые в точках 1 и 2 уклонения отвесных линий в плоскости нормального сечения линий 12;

Um – среднеинтегральное значение уклонения отвеса по линии 12;

ΔЕ - поправка за переход от измеренной разности высот к разности нормальных высот точек 1 и 2, вычисляемые по формуле:[3]

ΔЕ = – (Н1 – Н2)(В2 – В1)sin2Bm , (1.10)

где g – измеренная сила тяжести в точках линии 12;

γ – нормальная сила тяжести;

В12 – геодезические широты точек 1 и 2;

Bm – среднее значение широты линии 12;

Н1,2 – абсолютные высоты точек 1 и 2 в км.

К формулам (1.8) и (1.9) необходимо прибавить величину Δh = .

Погрешность вычисления превышений по формулам (1.8) и (1.9) за счет неучета Δh менее 1,5 мм лишь при превышениях h<100 м, тогда как при h>100 м ее величина возрастает пропорционально квадрату превышения.

Прогресс в области электрооптических измерений позволил осуществлять измерения длин линий с высокой точностью.

Сложившаяся практика выполнения тригонометрического нивелирования основана на использовании одностороннего и двухстороннего способов по горизонтальным проложениям, тогда как способы с непосредственно измеренными наклонными расстояниями не применяются. Хотя совершенно очевидно, что использование горизонтальных проложений приводит к потере времени за счет вычисления их величин.

Рассмотрим формулу одностороннего тригонометрического нивелирования по измеренным наклонным расстояниям (рис. 1.2):

1'2' = D – измеренное наклонное расстояние,

1"G, 2"G – радиусы кривизны квазигеоида, принимаемые равными радиусу кривизны эллипсоида – R.

Из треугольника 1'G2', считая известной сторону 1'G, найдем сторону 2'G:

2'G = (1.11)

приняв во внимание, что

2'G = R + H1 + h12 + l2, (1.12)

1'G = R + H1 +i1, (1.13)

произведя вычитание получим:

2'G – 1'G = h12 + l2 – i1 (1.14)

Выражение примет вид:

h'12 = – (R+H1) - l (1.15)

Для перехода к нормальному превышению необходимо ввести поправки за уклонение от отвесной линии Δhu и за непараллельность уровенных поверхностей ΔЕ.

Δhu = ξ1 – ξ2 , или Δhu = (U12 – Um12)Dsin(z12 + δz12). Поправка ΔЕ вычисляется по формуле (1.10). Таким образом окончательная формула одностороннего тригонометрического нивелирования примет вид:

h'12= –(R+H1)–l+(U12–Um12)Dsin(z12+δz12) +ΔЕ12 (1.16)

Примем i2 = l2. Переход к разности нормальных высот осуществляется с помощью поправок Δhu и ΔЕ. Окончательная формула двухстороннего тригонометрического нивелирования по измеренным наклонным расстояниям содержит еще один измеренный элемент z12 и имеет вид:

h12=+i1–i2+ΔЕ12+Dcos (1.17)

В этих формулах принято что высоты теодолита, дальномера и визирной цели в точке 1 равны между собой, а в точке 2 аналогичное равенство наблюдается для теодолита, отражателя и визирной цели. В практике геодезических работ это условие не соблюдается. Кроме того измеренное наклонное расстояние, после введения поправок за центровку дальномера и редукцию отражателя принимается равным расстоянию между центрами знаков. Это действительно имеет место при z = 90° и больших длинах измеряемых сторон. Однако с увеличением углов наклона и использованием высоких сигналов измерения длина линии, исправленная поправками за центровку дальномера и редукцию отражателя, не будет равна расстоянию между центрами знаков.

Рассмотрим способ тригонометрического нивелирования через промежуточную точку. Иногда этот способ называют еще тригонометрическим нивелированием из середины. Этот способ аналогичен одностороннему тригонометрическому нивелированию и предполагает значительное ослабление рефракционных воздействий, если считать справедливой вторую рефракционную гипотезу.

Рассмотрим рис. 1.3, обозначения на котором полностью соответствуют ранее принятым на рис. 1.2.

Требуется по измеренным в точке 1 зенитным расстояниям определить превышение между точками 2 и 3.

Превышения между точками 1, 2 и 1, 3 в системе нормальных высот при использовании горизонтальных проложений определяется по формуле (1.8). Обозначим

S13 = S12 + ΔS (1.18)