(6)

Постоянная К определяется из опыта и оказывается разной для пористых сред различной структуры. Формула (6) используется главным образом при расчетах фильтрационных сопротивлений искусственных пористых сред, применяемых в химических аппаратах; ею пользуются также при определении удельной поверхности порошков.

Закон Дарси является следствием предположения о безинерционности движения жидкости. Фильтрационное течение, следующее закону Дарси, является частным случаем ползущего течения (широко известным примером ползущего течения является стоксовское обтекание сферы). Течения такого типа характеризуются преобладанием вязких сил над инерционными, т. е. очень малыми числами Рейнольдса (Re << 1). Поэтому представляются нецелесообразными многочисленные попытки получить закон Дарси путем осреднения уравнений Навье - Стокса. Ясно, что любой такой вывод будет сводиться в конечном счете к попытке вычислить проницаемость по известной геометрической структуре пористой среды.

Закон Дарси имеет весьма широкую область приложения и на его основе получены основные результаты теории фильтрации. Существуют, однако, случаи, когда линейный закон фильтрации Дарси не применим. Эти случаи, необходимые обобщения закона Дарси и возникающие при этом нелинейные задачи теории фильтрации будут рассмотрены ниже. Пока же будем считать все рассматриваемые движения подчиняющимися закону Дарси.

До сих пор предполагалось, что пористая среда изотропна. Если пористая среда не является изотропной, то из общих соображений можно утверждать, что в произвольной ортогональной декартовой системе координат х1, х2, х3 компоненты вектора grad p выражаются через компоненты ui вектора следующим образом:

(7)

где cij - некоторый тензор. В случае безинерционных движений компоненты тензора cij могут зависеть только от вязкости жидкости m, тех или иных геометрических характеристик пористой среды и модуля вектора скорости фильтрации .

Аналогично выводу формулы (7) можно показать, что cij=mrij, где тензор rij зависит только от геометрических характеристик пористой среды и вызывает тензором удельных фильтрационных сопротивлений; компоненты тензора rij имеют размерность обратной площади. Выражая, наоборот, компоненты вектора скорости через компоненты вектора градиента давления, получаем

(8)

где тензор kij является обратным тензору rij, также зависит от геометрических характеристик пористой среды, имеет размерность площади называется тензором проницаемости. Эта зависимость представляет собой закон Дарси для анизотропной пористой среды.

Покажем теперь, что тензор сопротивлений rij и тензор kij являются симметричными, т.е. rij = rij, kij = kij. В самом деле, на пористую среду со стороны фильтрующейся жидкости действует объемная сила, пропорциональная градиенту давления; безразмерный множитель пропорциональности зависит только от геометрических характеристик пористой среды. Удельная работа этой силы, т.е. работа за единицу времени на единицу объема системы жидкость - пористая среда, равная удельной диссипации энергии жидкостью в пористой среде, равна скалярному произведению

(9)

Очевидно, что удельная работа сил взаимодействия жидкости с пористой средой не должна зависеть от выбора осей координат х1, х2, х3. Но для того чтобы квадратичная форма rβα , пропорциональная этой удельной работе, не зависела от выбора системы координат, необходимо и достаточно, чтобы rαβ = rβα Аналогично можно показать, что kαβ = kβα

В приложениях особую роль играет анизотропия естественных пористых сред, связанная с осадконакоплением. В этом случае проницаемости вдоль слоев имеют одно значение, а в перпендикулярном направлении - другое, обычно значительно меньшее. Поэтому одна из главных осей тензора проницаемости - х3 перпендикулярна плоскости напластования, а две другие - х1 и х2 можно выбрать произвольно в плоскости напластования. Система х1, х2, х3 будет главной системой в каждой точке пористой среды; в этой системе имеем

k11=k22=k; k33=k0; k12=k21=k32=k23=k31= k 13=0. (10)

Закон Дарси в выбранной системе координат записывается в силу соотношений (10) следующим образом:

(11)

1.2. Зависимость параметров жидкости и пористой среды

от давления

Поскольку движение жидкости в пористой среде вызывается перепадом давления, окончательная формулировка большинства задач теории фильтрации заключается в составлении дифференциальных уравнений для распределения давления и в установлении соответствующих начальных и граничных условий. Как при составлении этих уравнений, так и при решении их необходимо знать, как зависят от давления характеристики пористой среды и насыщающей ее жидкости.

1. Рассмотрим прежде всего влияние давления на свойства жидкости - плотность r и вязкость m.

Для капельных жидкостей - воды и нефти - изменения плотности обычно невелики. Встречающиеся в фильтрационных движениях перепады давления (десятки кгс/см2) весьма малы по сравнению с модулями объемного сжатия Кr капельных жидкостей (5×103- 2×104 кгс/см2). Поэтому для приложений достаточно ограничиться линейной зависимостью

(12)

Следует, однако, иметь в виду, что хотя сжимаемость капельных жидкостей и мала, она играет значительную роль в тех случаях, когда возмущения давления захватывают обширные области (здесь существенно то, что нефтяные залежи обычно граничат с пластовой водой, суммарный объем которой значительно больше объема нефти в залежи; в результате этого расширение воды при снижении давления может полностью компенсировать извлекаемый объем нефти). Зависимостью вязкости капельных жидкостей от давления при изменении давления в тех же пределах можно обычно пренебречь.