· доказательство теоремы об угле вписанного в окружность;

· следствие из теоремы.

Приведем параграф из учебника А. В. Погорелова [8,с.182].

УГЛЫ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 47 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и b. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.

Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплос­кость, то его градусная мера принимается равной 360°-a, где a — градусная мера дополнительного плоского угла (рис. 48).

Рис. 47 Рис. 48

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответ­ствующей этому центральному углу (рис. 49). Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Рис. 49 Рис. 50

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность называется вписанным в окруж­ность. Угол ВАС на рисунке 50 вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол А опира­ется на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соот­ветствующим данному вписанному углу.

Теорема. Угол, вписанный в окружность, равен по­ловине соответствующего центрального угла.

Доказательство. Рассмотрим сначала частный слу­чай, когда одна из сторон угла проходит через центр окруж­ности (рис. 51, а). Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны ОА и OВ равны как радиусы. Поэтому углы А и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.

Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD (рис. 51, б, в). В случае, представленном на рисунке 51, б,

ÐABC = ÐCBD + ÐABD = ÐCOD +ÐAOD = ÐAOC.

В случае, представленном на рисунке 51, в,

ÐАВС = ÐCBD - ÐABD = ÐCOD - ÐAOD = ÐAOC.

Теорема доказана полностью.

Из теоремы следует, что вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 52).

В частности, углы, опирающие­ся на диаметр, прямые.

3.2 Описание программы

Программа написана на языке программирования Turbo Pascal 7.0. Она состоит 7 страниц. Программа предназначена для урока в 9 классе по геометрии на тему “Углы, вписанные в окружность”.

Страница 1 (рис. 53).

При запуске программы ученик видит на экране следующую картинку. Вверху экрана в центре написана тема “урока” “УГЛЫ ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ ” (она будет присутствовать на каждой странице). На этой странице вводится понятие плоского угла и определение дополнительных углов.

Переход к следующей второй странице осуществляется нажатием клавиши “n”.

Рис. 53

Страница 2 (рис. 54).

Здесь вводится понятие градусной меры плоского угла. Нажав клавишу “d” можно вернуться назад. Переход на следующую третью страницу клавишей “n”.

Рис. 54

Страница 3 (рис. 55-57).

Дается определение центрального угла. Слово “Центральным” выделено красным цветом. Причем контур заштрихованной части мигает 10 секунд. Он также красного цвета.

Рис. 55

Затем дается определение дуги окружности (рис. 56). Дуга мигает 5 секунд зеленым цветом. Слова “дугой окружности” в определении также зеленого цвета.

Рис. 56

И последним на странице дается определение градусной меры дуги окружности (рис. 57). Клавишей “n” осуществляется переход к следующей странице.

Рис. 57

Страница 4 (рис. 58-61).

Определение угла вписанного в окружность. На рисунке угол показан красным цветом. Он мигает 10 секунд.

Рис. 58

Появляется фраза “Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС.”(рис. 59). На рисунке хорда ВС мигает красным цветом.

Рис. 59

Дальше на рисунке красным цветом (мигает) выделена дуга соответствующая данному вписанному углу (рис. 60).

Рис. 60

Заключительный кадр данной страницы (рис. 61).

Рис. 61

Страница 5 (рис. 62-65).

На странице 5 приводится теорема о равенстве угла вписанного в окружность половине соответствующего центрального угла и ее доказательство. Мигает первый шаг доказательства теоремы и стороны АО и ОВ. После они отметятся одинарными штрихами. Первый шаг – один из частных случаев.

Рис. 62

Через 10 секунд начнет мигать второй шаг доказательства теоремы (цифра 2) и углы А и В на рисунке (рис. 63). Затем равенство углов отметится одинарными дужками.

Рис. 63

Спустя 10 секунд мигает третий шаг доказательства и центральный угол АОС (рис. 64). Центральный угол АОС выделяется двойной дугой.