Доказательство. Выполним следующие рассуж­дения.

1. Может ли AB¹A1B1? Если допустить, что AB¹A1B1, то к каким выводам можно прийти?

2. Отложим отрезок A1B2 = AB. Получим DA1B2C1.

3. На основании первого признака равенства двух треугольников (основного свойства 5) DABC = DA1B2C1.

4. Отсюда на основании предыдущего следствия ÐC = ÐA1C1B2.

5. ÐA1C1B2 = ÐA1C1B1.

6. Углы A1C1B2 и A1C1B1 равны между собой и не совпадают (!), что противоречит основному свойству от­кладывания угла.

7. Следовательно, допущение неверно, и поэтому AB = A1B1.

8. Тогда по первому признаку равенства треугольни­ков DABC = DA1B1C1.

Замечания: 1. Второй признак равенства треуголь­ников имеет и другое название — «признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам».

2. Примененный выше метод доказательства называ­ется методом от противного. Этот метод каждый раз начинается с отрицания того, что нужно доказать.

Перед рассмотрением следующего признака равенства треугольников, учащиеся познакомятся с равнобедренным треуголь­ником и его свойством.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны (АВ и ВС, рис. 12) называются боковыми, а третья сторона (AC) — осно­ванием.

Теоремы 1 (об углах при основании равнобедрен­ного треугольника). В равнобедренном треугольнике уг­лы при основании равны.

2 (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны.

Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14

В треугольниках АВК и СВК АВ = ВС, BK— общая сторона, ÐАВК = ÐСВК. Тогда по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) DАВК = DСВК. Из их равенства следует, что ÐA=ÐC.

2. Замысел доказательства третьего при­знака.

Пусть DABC и DA1B1C1 (рис. 14) — данные треуголь­ники. Построим еще третий треугольник A1B2C1 следую­щим образом:

ÐC1A1B2 = ÐA и ÐA1C1B2 = ÐC.

Докажем, что данные треугольники равны DA1B2C1. Отсюда будет следовать, что они равны между собой. При этом возможны три случая. Рассмотрим один из них.

Доказательство третьего признака.

1. DABC = DA1B2C1 на основании второго признака (по стороне и двум прилежащим углам).

2. Для доказательства равенства треугольников A1B1C1 и A1B2C1 выполним дополнительное построение: построим отрезок B1B2.

3. Так как DA1B2C1 = DАВС, то A1B2 = АВ; кроме то­го, A1B1 = АВ. Поэтому A1B2= A1B1 и, значит, DA1B1B2 — равнобедренный.

4. Аналогично доказывается, что DC1B1B2—равно­бедренный.

5. По предыдущей теореме ÐA1B1B2 = ÐA1B2B1 и ÐC1B1B2 = ÐC1B2B1.

6. Отсюда ÐA1B1C1 = ÐA1B2C1.

7. Тогда DA1B1C1 = DA1B2C1 по двум сторонам и углу между ними.

8. Если треугольники АВС и A1B1C1 равны треуголь­нику A1B2C1, то они равны между собой.

Замечания: 1. Третий признак равенства треуголь­ников имеет и другое название — «признак равенства треугольников по трем сторонам».

2. В рассмотренном случае углы А и А1—острые. В двух других возможных случаях эти углы соответ­ственно прямые и тупые. (Эти случаи рекомендуется рассмотреть самостоятельно.)

2.1.2 Особенности учебного материала, связанные с графическими иллюстрациями.

При изучении равенства может быть широко использована компьютерная графика, при этом возможны иллюстрации двух типов:

а) статичная иллюстрация равенства двух треугольников (изображение двух равных треугольников общего вида, отмечается черточками и дугами равные стороны и углы, приводится краткая символическая запись определения; активизация познавательной деятельности осуществляется с помощью заданий, связанных с приводимым рисунком);

б) динамическая иллюстрация, показывающая совмещение равных треугольников с помощью движения, процесс движения при этом показывается на экране.

Аксиома (первый признак) равенства треугольников также допускает демонстрации в указанных выше двух режимах: статичном и динамическом. Аналогичные демонстрации предложены для введения второго и третьего признака равенства треугольников.

При изложении доказательств демонстрации призваны были показать последовательность дополнительных построений, их поэтапное выполнение (в соответствии с последовательностью шагов доказательства).

2.2 Описание программы “Равенство треугольников”

Программа “Равенство треугольников” написана на языке программирования Visual Basic под операционную систему Windows 9x. Исходный код приведен в приложении B.

Программа состоит из 15 демонстраций:

1) Статичная демонстрация – Определение равенства треугольников;

2) Динамическая демонстрация – Определение равенства треугольников;

3) Тест – Определение равенства треугольников;

4) Статичная демонстрация – Первый признак равенства треугольников;

5) Динамическая демонстрация – Первый признак равенства треугольников;

6) Тест - Первый признак равенства треугольников;

7) Статичная демонстрация – Второй признак равенства треугольников;

8) Динамическая демонстрация – Второй признак равенства треугольников;

9) Тест – Второй признак равенства треугольников;

10) Демонстрация к доказательству второго признака равенства треугольников;

11) Статичная демонстрация – Третий признак равенства треугольников;

12) Динамическая демонстрация – Третий признак равенства треугольников;

13)Тест – Третий признак равенства треугольников;

14)Общий тест на предыдущие пункты;

15)Демонстрация к доказательству третьего признака равенства треугольников.

При запуске программы появляется окно приглашения (рис. 26).

Рис. 26

После нажатия кнопки “Запуск” начнется выполнение программы.

На синей полосе вверху каждой демонстрации будет приведена тема данного кадра.

Под синей полосой на белом фоне - текущая демонстрация.

Внизу экрана расположена кнопка перехода к следующей демонстрации.

Демонстрация 1 (рис. 27).

На синей полосе надпись - “ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАВНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ”. Это тема данного кадра. На экране нарисованы два равных треугольника D ABC и DA1B1C1. Отмечены равные стороны и углы, причем равные стороны выделены одинаковым цветом.

Ниже, слева, дана символьная запись определения равенства треугольников, а, справа - словесная.