В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: .

Заметим, что слагаемые в (1*), у которых aj<0,[3] физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -aj>0: . В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.

Определим в скалярное произведение и векторы , биортогонально сопряженные с : , i,j=1, .,n.

Лемма 2. В разложении (1*) , j=1, .,n, . Яркость , где , причем вектор y ортогонален гиперплоскости П, так как , i,j=1, .,n.

Что касается скалярного проиведения , то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов были координатами feв некотором ортонормированном базисе . В этом базисе конус . Заметим, что для любых векторов и, тем более, для , [4].

Пусть Х - поле зрения, например, ограниченная область на плоскости R2, или на сетке , спектральная чувствительность j-го детектора излучения, расположенного в точке ; - излучение, попадающее в точку . Изображением назовем векторнозначную функцию

(2**)

Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х, С, m) - измеримое пространство Х с мерой m, C - s-алгебра подмножеств X. Цветное (спектрозональное) изображениеопределим равенством

, (2)

в котором почти для всех , , - m-измеримые функции на поле зрения X, такие, что

.

Цветные изображения образуют подкласс функций лебеговского класса функций . Класс цветных изображений обозначим LE,n.

Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент называется цветным изображением, а условие

(2*)

условием физичности изображений f(×).

Если f(×) - цветное изображение (2), то , как нетрудно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е. , . Изображение , назовем черно-белым вариантом цветного изображения f(×), а цветное изображение , f(x)0, xÎX - цветом изображения f(×). В точках множества В={xÎX: f(x)=0} черного цвета j(x), xÎВ, - произвольные векторы из , удовлетворяющие условию: яркость j(x)=1. Черно-белым вариантом цветного изображения f(×) будем также называть цветное изображение b(×), имеющее в каждой точке Х ту же яркость, что и f(×), b(x)=f(x), xÎX, и белый цвет, b(x)=b(x)/b(x)=b, xÎX.

3. Форма цветного изображения.

Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием , в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения в каждой точке при неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке у вектора f(x) может измениться длина, но направление останется неизменным.

Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и цветом jнет взаимно однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f(x) в терминах преобразования его цвета j(×). Для этого определим отображение A(×):, ставящее в соответствие каждому вектору цвета подмножество поля зрения в точках которого изображение , имеет постоянный цвет .