Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийРефераты >> Математика >> Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений
(18)
Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из , в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A1, .,AN поля зрения X, (см. Лемму 3).
Так как
то минимум S (19) по достигается при
, (20)
и равен
(21)
Задача (18) тем самым сведена к задаче
. (22)
В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор
. (23)
Максимум (неотрицательной) квадратичной формы на сфере в Rn, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе yi оператора Фi, отвечающем максимальному собственному значению >0,
,
и равен , т.е. . Следовательно, максимум в (22) равен и достигается, например, при
Теорема 3. Пусть A1, .,AN -заданное измеримое разбиение X, причем[9] m(Ai)>0, i=1, .,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения изображениями g(×) (17) является изображение
(24)
Операторы ,i=1, .,N, и - нелинейные (зависящие от f(×)) проекторы: Пi проецирует в Rn векторы на линейное подпространство , натянутое на собственный вектор оператора Фi (23), отвечающий наибольшему собственному значению ri,
; (25)
П проецирует в изображение на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения
Невязка наилучшего приближения
(19*).
Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Фi (23). Поскольку Фi самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Фi неотрицательны и среди них ri - наибольшее.
Для доказательства свойств операторов Пi, i=1, .,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f(×):
(26*)
Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов Пi, i=1, .,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.
Пусть fi - cсобственный вектор Фi , отвечающий максимальному собственному значению ri. Чтобы определить следует решить задачу на собственные значения для оператора :
.
Поскольку rank=1, имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно ri, и ему соответствует единственный собственный вектор fi. Поэтому
.
Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для n
Лемма 4. Для любого изображения решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом .
Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор fi оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri, можно выбрать так, чтобы , поскольку в таком случае будут выполнены импликации:
,
составляющие содержание леммы. Действительно, если то согласно (23) , поскольку включение означает, что; отсюда и из (25) получим, что ,i=1, .,N, а поэтому и в (24) .