Жирным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций по 4-м предприятиям.

Сведем результаты в 4 таблицы. Теперь F4(7)=141 показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, a z4(7)=100 тыс. руб. - размер инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. На долю остальных трех предприятий остается 600 тыс. руб.

Третьему предприятию должно быть выделено х*3=Х3(700-х*4)=Х3(600)=100 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим х*2=Х2(700-х*4-х*3)=Х2(500)=200 тыс. руб.

На долю первого предприятия остается х*1=700-х*4-х*3-х*2=300 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капи­тальных вложений по предприятиям:

х*1 =300; х*2 =200; х*3 = 100; х*4 = 100.

Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 141 тыс. руб.

Анализ доходности и риска финансовых операций

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния ко­торой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопреде­ленности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль, так и убыток.

Существует несколько разных способов оценки операции с точки зрения доходности и риска. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода. Однако количественно оценить риск возможно лишь если операция вероятностно характеризуема, т.е. ее доход есть случайная величина - это предполагает возможность неоднократного повторения этой операции. Итак, пусть доход от операции Q есть случайная величина, которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание М[Q] называют еще средним ожидаемым доходом, а риск операции r отождествляют со средним квадратическим отклонением, т.е. квадратным корнем из дисперсии D[Q].

Рассмотрим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найдем средние ожидае­мые доходы Qi и риски ri, операций.

; ;

; .

Q1=0×1/3+1×1/3+2×1/6+8×1/6=2

M[Q12]= 02 ×1/3+12 ×1/3+22 ×1/6+82 ×1/6=11,7

D[Q1]= 11,7-22=7,7

r1=2,77

Q2=4

M[Q22]=23,7

D[Q2]=7,7

r2=2,77

Q3=6

M[Q32]=50,4

D[Q3]=14,4

r3=3,8

Q4=8

M[Q42]=78,4

D[Q4]=14,4

r4=3,8

Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. график 3);

Получили 4 точки. Чем правее точка (Q,r), тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (Q',r') доминирует над точкой (Q,r) если Q'>Q и r'<r и хотя бы одно из этих неравенств строгое.

Точка, не доминируемая никакой другой, называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимально­сти по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо вы­бирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.

Для нахождения лучшей операции применяют взвешивающую формулу j(Qi)=2Qi-ri, которая для пар (Q,r) дает одно число, по кото­рому и определяют лучшую операцию.

j(Q1)=2×2-2,8=1,2 j(Q2)=6,2

j(Q3)=8,2 j(Q4)=12,2

Наибольшее значение j соответствует лучшей операции, наименьшее – худшей. В нашем случае наилучшей является операция №4, худшей – операция №1.

Матричная игра 2х4

Рассмотрим игру для двух лиц с нулевой суммой. Пусть П и В – первый и второй игроки соответственно, а матрица А – платежная матрица, каждый элемент которой по абсолютной величине является выигрышем/ проигрышем, уплачиваемым игроками друг другу в соответствии с их договоренностью. Цель игроков – максимизировать выигрыш. При этом предполагается, что будет сыграно достаточно много партий, так что задача заключается в получении максимального выигрыша в среднем за партию. Каждый из игроков использует наилучшие для себя стратегии. Стратегия называется чистой, если выбор игрока неизменен от партии к партии, и смешанной, если выбор i-ой строки производится с некоторой вероятностью pi.

Рассмотрим графическое решение игры 2х4 с матрицей

В

П ®

Седловой точки в чистых стратегиях нет.

В строках доминирования нет.

3-ий столбец доминирует над 1-ым.

Обозначим искомую оптимальную стратегию первого игрока П - (х, 1-х), где