Линейное и динамическое программированиеРефераты >> Математика >> Линейное и динамическое программирование
Решение одной из пары двойственных задач можно найти, зная только ответ к другой задаче и пользуясь 2-й теоремой двойственности: если i-e ограничение одной из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть строгое неравенство, то оптимальное значение i-й переменной другой задачи равно 0, или, что то же самое - если оптимальное значение j-й переменной одной задачи строго положительно, то j-e ограничение другой из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть равенство.
Важен экономический смысл двойственных оценок. Двойственная оценка, например, третьего ресурса у3=5 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли на 5 единиц.
Расшивка "узких мест" производства
Таблица N 3
C |
B |
H |
48 |
30 |
29 |
10 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 | |||
29 |
х3 |
24 |
0 |
-1/7 |
1 |
6/7 |
2/7 |
0 |
-1/7 |
0 |
x6 |
4 |
0 |
13/7 |
0 |
13/7 |
-4/21 |
1 |
-5/21 |
48 |
х1 |
34 |
1 |
6/7 |
0 |
-1/7 |
-1/21 |
0 |
4/21 |
2328 |
0 |
7 |
0 |
8 |
6 |
0 |
5 |
При выполнении оптимальной производственной программы первый и третий ресурсы используются полностью, тем самым они образуют "узкие места" производства. Будем их заказывать дополнительно. Пусть Т=( t1,t2,t3) - вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие H+Q-lТ≥0, где Н - значения базисных переменных в последней симплексной таблице, а Q-1 - обращенный базис, который образуют столбцы при балансовых переменных в этой таблице. Задача состоит в том, чтобы найти вектор Т, максимизирующий суммарный прирост прибыли W=6t1+5 t3 при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, ассортимента выпускаемой продукции), предполагая, что можно получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурсов каждого вида.
24 2/7 0 -1/7 t1 0
4 + -4/21 1 -5/21 0 ≥ 0
34 -1/21 0 4/21 t3 0
t1 198
0 ≤ 1/3 96
t3 228
t1≥0, t3≥0.
W=6t1+5t3 àmax
-2/7 t1 + 1/7 t3 ≤ 24
4/21 t1 + 5/21 t3 ≤ 4
1/21 t1 - 4/21 t3 ≤ 34
t1≤198/3, t3≤228/3.
t1≥0, t3≥0.
Как видно, после графического решения (График 2) программа расшивки приобретает вид:
t1=21, t2=0, t3=0
С новым количеством ресурсов: 198+21 219
b' = 96+0 = 96
228+0 228
у предприятия будет новая производственная программа.
Найдем h'=Q-1 b'
5/28 0 -1/7 219 30 àx3
-4/7 1 -1/7 96 = 0 àx6
-3/28 0 2/7 228 33 àx1
Теперь новая производственная программа имеет вид: X'оpt=(33;0;30;0). При этом второй ресурс был использован полностью.
219
При наличии ресурсов b' = 96 производство наиболее выгодно, так как
228
достигается max прибыль с использованием всех ресурсов. Также обратим внимание на то, что производство продукции 1–го вида при заказе дополнительных ресурсов необходимо будет уменьшить на 15 единиц, а производство продукции 3–го вида – увеличить на единицу.
ΔLmax=(Y,t)=6·21=126, где Y=(6;0;5); t(21;0;0)
L'max= ΔLmax+ Lmax=126+2328=2454.
Этот результат можно проверить, подставив значения х1 и х3 в первоначальную целевую функцию: L'max=48xl+30x2+29x3+10x4=31·37+41·21=1147+861=2454.
Транспортная задача
Транспортная задача формулируется следующим образом. Однородный продукт, сосредоточенный в т пунктах производства (хранения) в количествах a1, а2, ., аm единиц, необходимо распределить между п пунктами потребления, которым необходимо соответственно b1, b2,,…, bn единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-ro пункта отправления в j-й пункт назначения равна cij и известна для всех маршрутов. Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.
Обозначим через xij количество груза, планируемого к перевозке от i-ro поставщика j-му потребителю. При наличии баланса производства и потребления
математическая модель транспортной задачи будет выглядеть так:
найти план перевозок
X=(xij), xij³0, iÎNm, jÎNn
минимизирующий общую стоимость всех перевозок
при условии, что из любого пункта производства вывозится весь продукт
, iÎNm
и любому потребителю доставляется необходимое количество груза
, jÎNn
Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов. Пусть исходные данные задачи имеют вид