1.Определённый интеграл по отрезку от квадрата любой функции отличен от 0, причём

2. Определённый интеграл по отрезку от произведения любых двух различных функций равен нулю, т.е.

, ,

, ,

Замечание 1: Система функций называется ортогональной на отрезке [a,b], если

1.

Видим, что тригонометрическая система функций является ортогональной на отрезке .

Будем считать, что выполнено условие, при котором этот тригонометрический ряд можно интегрировать почленно, тогда его коэффициенты определяются формулами:

Тригонометрический ряд, определяемый такими коэффициентами, называется рядом Фурье, а числа an, bn- коэффициентами Фурье функции f(x).

Замечание 2: Формулы a0 и an можно объединить в одну:

При этом появляется удобство обозначения начального члена тригонометрического ряда через a0/2, а не через a0. Замечание 3: Два аналитических выражения могут совпадать в некотором промежутке, но не совпадать при этом на всей числовой прямой.

Пример:

Y

-2 f(x)=x,

- 0 2 Х

; S(x)- сумма ряда,

Замечание 4: Тригонометрическим рядом на всей числовой прямой можно представить только периодическую функцию.

Пример:

f(x)- ограничена, непрерывна, монотонна

а).

б).

3.

Приближение функций тригонометрическими многочленами.

Тригонометрическими многочленами n-го порядка называют функцию вида: или короче:.

Рассмотрим сумму первых n членов ряда Фурье: .

Эта сумма является тригонометрическим многочленом n-го порядка, начальный член которого представлен в виде a0/2. В качестве приближения функции f(x) с периодом 2 тригонометрическим многочленом берут указанную сумму Sn(x), т.е. .

Естественно, при этом возникает вопрос об ошибке приближения. Если функция с периодом 2 имеет при всех х производную f®(x) порядка r, удовлетворяющая неравенству , то можно доказать, что ошибка приближения выражается следующим неравенством: , где Cr- постоянная, зависящая только от r. Отсюда видно, что ошибка стремится к нулю при n стремящемуся к бесконечности. Причём тем быстрее, чем больше производных имеет функция.

Для аналитических функций оценка будет ещё лучше. Аналитической в области определения называют функцию, которая разлагается в сходящейся к ней степенной ряд в области определения. Для функция, аналитических на всей действительной оси, оценка приближения выражается неравенством: .С и g- положительные постоянные, связанные с f(x), q<1.

И обратно, если для функции f(x) выполняется это неравенство, то она является аналитической. Можно утверждать: если функция разлагается в сходящийся к ней ряд Фурье, то отсюда ещё не следует, что она аналитическая. Однако f(x) будет аналитической, если уклонение от суммы первых n членов её ряда Фурье имеет оценку, т.е. убывает быстрее члена убывающей геометрической прогрессии.

Чтобы обеспечить приближение произвольных непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами, пользуются так называемыми методами суммирования рядов Фурье. В качестве тригонометрических многочленов, приближающих функцию, вместо сумм Фурье рассматривают некоторые их видоизменения. Один из таких методов состоит в следующем: для непрерывной периодической функции находят её ряд Фурье, который может быть и не сходящимся, а затем составляется среднее арифметическое первых частичных сумм этого ряда: , где .