Лемма: Пусть x1,x2 .xn-1 произвольно взятые различные точки из интервала [a,b]. В таком случае существует (и с точностью до постоянного множителя только 1) нетривиальный полином , который имеет своими нулями следующие точки:

Других нулей у этого полинома нет, и, если т. xk лежит внутри [a,b], то при переходе через неё полином F(x,) меняет знак.

Обобщение: Если S- есть система Чебышева относительно интервала [a,b], а f(x)- произвольная непрерывная в [a,b] вещественная функция, то полином F(x,), который в метрике С наименее уклоняется в [a,b] от f(x) вполне определяется тем, что разность принимает с чередующимися знаками своё максимальное значение по крайней мере в n+1 последовательных точках интервала [a,b].

Теперь мы можем рассматривать функции в произвольных нормированных пространствах.

III. Методы аппроксимации

3.1 Приближение функций многочленами.

Алгебраическим многочленом степени n называется функция - действительные числа, называемые коэффициентами.

Алгебраические многочлены являются простейшими функциями. Они непрерывны при любом x. Производная многочлена- так же многочлен, степень которого на единицу меньше степени исходного. Так, если степень n, то .

В школьном курсе математики рассматриваются функции f(x)=ax, f(x)=logax, f(x)=sin(x) и др., изучаются их свойства, строятся графики. Однако вопрос о методах вычисления значений названных функций при заданных значениях аргумента не рассматривается. Вместе с тем, он очень важен. Познакомимся с методами приближения функций, или методами аппроксимации.

3.2 Формула Тейлора.

Рассмотрим функцию y=f(x), определённой на некотором промежутке, содержащим т.а. Предположим, что эта функция имеет производные (n+1)-го порядка.

Уравнение касательной к графику функции в т. х=а имеет вид: .

Многочлен 1-й степени: в т. х=а совпадает со значением f(x) в этой точке: P1(a)=f(a). Многочлен в т. х=а имеет то же значение производной, что и функция. Действительно, P1’(x)=f’(a), следовательно, P1’(а)=f’(a). График многочлена Р1(х) касается графика функции y=f(x) в т. М0(а,f’(a)).

Можно найти многочлен 2-й степени, а именно: , который в т. х=а будет иметь с функцией y=f(x) общее значение и одинаковые значения как первых, так и вторых производных. График многочлена Р2(х) вблизи т. х=а ещё теснее будет прилегать к графику функции y=f(x) по сравнению с графиком многочлена Р1(х).

Естественно ожидать, что многочлен, имеющий при х=а первые n производных, одинаковых с соответствующими производными функции f(x) в той же точке, при х, близких к а, будет хорошо приближать f(x). В этом случае вместо f(x) можно рассматривать указанный многочлен, а для приближённого вычисления f(x) при заданном х достаточно вычислить его значения при том же х.

Этот многочлен получают в результате решения следующей задачи: для функции f(x), имеющей в окрестности т. х=а производные до порядка n+1 включительно, найти многочлен Рn(x) степени не выше n такой, что Pn(a)=f(a); Pn’(a)=f’(a); Pn’’(a)=f’’(a); . Pn(n)(a)=f(n)(a).

Эти равенства означают, что в т. х=а значения многочлена Рn(x) и функции y=f(x), а так же их соответствующих производных совпадают. Многочлен Pn(x) представим в виде: . Коэффициенты определяются, предварительно найдя его производные:

Подставляя в формулы значения х=а, получим:

.

Из этих равенств находим, что

Получаем искомый многочлен:

.

Обозначим через rn(x) разность между функцией f(x) и многочленом Pn(x).

Величину rn(x) называет остаточным членом. Видно, что при тех же значениях х, для которых rn(x) достаточно мал, вместо f(x) можно рассматривать многочлен Pn(x).

Оценим величину остаточного члена rn(x). Запишем его в виде , где Q(x)- функция, которую нужно определить. Формула примет вид:

При фиксированных значениях а и х функция Q(x) имеет определённые значения, которые обозначаются через Q.

Рассмотрим вспомогательную функцию переменной t (a<t<x)

Применяя правила дифференцирования алгебраической суммы и произведения двух функций, находим производную функции F(t) по аргументу t.(x и а- фиксированные, следовательно, f(x)- постоянная).

Приведя подобные слагаемые, получим:

Из формулы функции F(t) видно, что F(x)=0 и F(a)=0. Воспользуемся свойством дифференцируемой функции:

Если дифференцируемая функция f(x) обращается в нуль при х=а и х=b, f(a)=0, f(b)=0, (ab), то между точками а и b найдётся по крайней мере одна т.с, в которой равна нулю производная данной функции: f’(c )=0. (т. Ролля).

Геометрически это означает, если в т. а и b f(a)=0 и f(b)=0, то такое, что в т. С(с,f(c )) касательная к графику y=f(x) параллельна оси ОХ.