Аппроксимация непрерывных функций многочленамиРефераты >> Математика >> Аппроксимация непрерывных функций многочленами
В силу (1), имеем равенство
или
.
Присоединяя это уравнение к системе (2) и исключая , найдём, что
, откуда .
Итак, мы нашли: (3)
Из этого соотношения, и из того, что G(g1)=(g1,g1)>0 вытекает, что детерминант Грама всегда больше либо равен нулю, причём он обращается в нуль тогда и только тогда, если между векторами есть линейная зависимость (в частности, если один из векторов равен нулю).
1.3. Первая теорема Вейерштрасса.
Мы рассмотрели теорему аппроксимации в произвольном линейном нормированным пространстве Е. Теперь рассмотрим пример линейного нормированного пространства- пространство С.
Пространство С: совокупность всех непрерывных функций x=x(P) от точки Р в ограниченном замкнутом множестве обычного пространства любого числа измерений- это есть линейное нормированное пространство.
Из теоремы в применении к пространству вытекает следующий факт: пусть f(x)- непрерывная функция в конечном интервале [a,b]; тогда при любом n существует полином , который среди полиномов n-й степени наименее уклоняется от f(x), в том смысле, что , где Qn(x)- произвольный полином n-й степени. Ясно, что .
Теперь докажем, что при . Это утверждение и составляет содержание теоремы Вейерштрасса (1885), которая гласит:
если f(x) непрерывна в конечном замкнутом интервале [a,b], то всякому можно сопоставить полином Pn(x) степени n=n(), для которого во всём интервале [a,b] имеет место неравенство .
Не нарушая общности, примем, что а=0, b=1. Приведём доказательство С.П.Бернштейна.
Для этого построим полином , и докажем, что равномерно во всём интервале [0,1] . Напишем тождества:
(1); ;
, из которых последите два получаются дифференцированием по р соотношения:
. Из написанных тождеств вытекает, что (2).
Умножая (1) на f(x) и отнимая Bn(x), получим, что
, где суммирование в распространено на те значения к, для которых , а суммирование в - на остальные значения к.
Так как f(x) непрерывна в замкнутом интервале [0,1], и, значит, ограничена: во всём этом интервале, то
А это выражение на основании (2): , с другой стороны,, где , и, значит, при .
Окончательно: , что и доказывает теорему Вейерштрасса.
Заметим, что если Pn(x) равномерно стремится к f(x) при , то f(x) разлагается в равномерно сходящийся ряд.
Поэтому т. Вейерштрасса состоит так же в том, что всякая непрерывная в конечном интервале [a,b] функция f(x) может быть разложена в равномерно сходящийся при ряд, члены которого- полиномы.
1.4. Вторая теорема Вейерштрасса.
Она относится к периодическим непрерывным функциям:
Если F(t)- непрерывная функция с периодом 2, то каково бы ни было число , существует тригонометрическая сумма , n=n(), которая для всех t удовлетворяет неравенству:
.
II. Круг идей П.Л. Чебышева.
Пусть даны замкнутый (конечный или бесконечный) интервал [a,b] числовой оси и две вещественные непрерывные в [a,b] функции f(x) и S(x). Составим выражение: (*), где m и n заданы и поставим задачу найти вещественные параметры p0,p1 .pm; q0,q1 .qn так, чтобы уклонение Q(x) от f(x) было наименьшим.
В частном случае, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a,b] конечен, поставленная задача переходит в задачу о наилучшем приближении в пространстве С заданной функции с помощью многочлена степени n.
Будем полагать, что m=n-k, кроме того, если интервалом [a,b] является вся числовая ось, мы будем предполагать, что и будем рассматривать только те функции, для которых , m условимся считать чётным.
2.1 Обобщённая теорема Валле-Пуссена.
Если многочлены ; , где и , , не имеют общего делителя , а выражение в интервале [a,b] остаётся конечным и если разность f(x)-R(x) принимает в последовательных точках x1<x2< .<xn интервала [a,b], отличные от значения с чередующимися знаками, N=m+n-d+2, , то для каждой функции имеет место неравенство: , где . Это же неравенство имеет место, если R(x)=0 и N=n+2.