9,4 – 0,18 < ген < 9,4 + 0,18. Итак, 9,22 < ген < 9,58, то есть средний трудовой стаж рабочих всего коллектива лежит в пределах от 9,22 года до 9,58 года (с надежностью g = 0,97).

С изменением надежности g изменится и интервальная оценка.

Пусть g = 0,99, тогда Ф(t) = 0,495, отсюда t = 2,58. Тогда:

или 9,4 – 0,22 < ген < 9,4 + 0,22 .

Окончательно: 9,18 < ген < 9,62.

Пример. С целью определения средней продолжительности рабочего дня на предприятии методом случайной повторной выборки проведено обследование продолжительности рабочего дня сотрудников. Из всего коллектива завода случайным образом выбрано 30 сотрудников. Данные табельного учета о продолжительности рабочего дня этих сотрудников и составили выборку. Средняя по выборке продолжительность рабочего дня оказалась равной 6,85 часа, а S = 0,7 часа. Считая, что продолжительность рабочего дня имеет нормальный закон распределения, с надежностью g = 0,95 определить, в каких пределах находится действительная средняя продолжительность рабочего дня для всего коллектива данного предприятия.

Решение. Признак Х – продолжительность рабочего дня. Признак имеет нормальное распределение с неизвестными параметрами. Сделана выборка объемом n = 30, по выборочным данным найдены точечные оценки параметров распределения: в = 6,85; S = 0,7. С надежностью g = 0,95 найдем интервальную оценку параметра по формуле:

tg находим по таблице, tg = t(0,95; 30) = 2,045. Тогда:

, или 6,85 – 0,26 < ген < 6,85 + 0,26 .

Итак, 6,59 < ген < 7,11 , то есть с надежностью g = 0,95 средняя продолжительность рабочего дня для всего коллектива лежит в пределах от 6,59 до 7,11 ч.

4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Во многих практических задачах точный закон распределения исследуемого признака Х генеральной совокупности неизвестен. В этом случае необходимо проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения. Выдвигаются нулевая гипотеза Н0 и ей конкурирующая Н1.

Н0: признак Х имеет нормальный закон распределения.

Н1: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального.

Нулевая гипотеза проверяется с помощью критерия согласия.

Критерий c2 (“хи-квадрат”) Пирсона – наиболее часто употребляемый критерий, может применяться для проверки гипотезы о любом законе распределения. Независимо от того, какое распределение имеет Х, распределение случайной величины c 2:

,

где – эмпирические частоты, – теоретические частоты; при стремится к c 2 – распределению с k степенями свободы.

Теоретические частоты определяются, исходя из предположения о законе распределения генеральной совокупности, в данном случае о нормальном законе. Так как , где рi – теоретическая вероятность, то .

Для дискретного ряда:

, где , –дифференциальная фун­кция нормированного нормального распределения, шаг , – выборочная средняя, – выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для интервального ряда:

, где Ф(t) – функция Лапласа.

Рассчитав теоретические частоты, находят . Из таблицы критических точек распределения c 2 по заданному уровню значимости a (достаточно малая вероятность) и числу степеней свободы k находят (a, k) – границу правосторонней критической области (см. рис. 5). Здесь k = s – r – 1 , где s – число различных значений xi дискретного или число интервалов (xi–1 – xi ) непрерывного признака Х, r – число параметров предполагаемого закона распределения, для нормального распределения r = 2, отсюда k = s – 3. Затем сравнивают и (a, k) и делают вывод.

Рис. 5

При формулировке вывода руководствуются следующим правилом:

· если наблюдаемое значение критерия попало в область принятия гипотезы (<(a, k)), как показано на рис. 5, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, по данным наблюдения признак Х имеет нормальный закон распределения, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами ( и ) случайное;

· если наблюдаемое значение критерия попало в критическую область (>(a, k)), то нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза, то есть признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами ( и ) значимо.

Пример 9. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05, установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами, которые вычислены, исходя из предположения о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности: