Однако операторы , задаваемые формулой (23), не обладают свойствами коммутативности, поэтому схема типа (20), (21) для уравнения (22) будет иметь порядок аппроксимации . При этом разностные операторы должны строиться по образцу наилучшей одномерной схемы (21), (22). Такой же порядок аппроксимации будет иметь и чисто неявная локально-одномерная схема

; (24)

здесь , (25)

с разностными граничными условиями I рода

. (26)

Схему более высокого порядка аппроксимации можно построить, применяя симметричный алгоритм по времени. Для этой цели на интервале вводится полуцелый слой . С помощью симметричной схемы типа (20), (21) вычисляем значения приближённого решения на полу целом слое, затем по этой же схеме, только в обратном порядке, , перейдём на целый слой . Построенная таким образом схема имеет порядок аппроксимации . Схема (24) может быть использована при решении квазилинейных уравнений теплопроводности.

Методы конструирования граничных условий

Проанализируем вопросы, связанные с построением разностных схем в нерегулярных узлах сетки (на границе или вблизи нее).

Рассмотрим смешанную краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности с граничными условиями второго рода:

;

Граничные условия можно аппроксимировать односторонней разностью. Например, первое граничное условие (1.75) запишем в виде

(1.76)

(второе граничное условие (1.75) представляется аналогично и потому не рассматривается). Из (1.76) получим

. (1.77)

Однако невязка этого разностного уравнения равна

,

т.е. имеет меньший порядок малости, чем невязка разностной схемы (1.57) в регулярной точке, равная 0(t+h2).

Задача состоит в том, чтобы построить разностную схему в нерегулярных (граничных) узлах нормальной точности 0(h2).

Рассмотрим методы конструирования разностных граничных условий нормальной точности 0(h2) на примере краевой задачи (1.73) - (1.75).

Метод фиктивных точек. Этот метод очень нагляден, Введем вне отрезка 0 < x<l фиктивную точку х-1 = х0 - h и будем считать исходное уравнение (1.73) справедливым при х-1 < х0 (здесь рассматривается левое граничное условие, правое может быть записано аналогично). Тогда разностное уравнение можно записать и для п =0:

.

В левом граничном условии (1.75) производную заменим симметричной разностью

.

Из последних двух уравнений значение искомой функции исключаем фиктивной точке - y-1. Получаем разностное граничное условие

,

откуда

(1.78)

Невязка этого последнего разностного уравнения равна 0(h2), т.е. имеет более высокий порядок малости по сравнению с уравне­нием (1.77).

Метод уменьшение невязки. Этот метод менее нагляден, но более универсален. Рассмотрим построение по этому методу раз­ностной схемы в граничной точке (левого граничного условия (1.75)). Представим U(х,t) с использованием формулы Тейлора:

(1.79)

На основании граничного условия (1.75) имеем ux(х0, t) = m1(t), а из уравнения теплопроводности uxx= ut . Подставляя эти в величины в формулу Тейлора (1.79), найдем

а заменив

,

получим формулу (1.78).

Учитывая большее число членов ряда Тейлора, можно сконструировать с помощью метода уменьшения невязки граничные условия не только нормальной, но и повышенной точности.

Список использованной литературы

1. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1983.

2. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М., 1963.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., 1978.

4. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. Введение в теорию. М., 1977.