Содержание

Основные понятия метода конечных разностей.

Построение сетки. Сеточные функции и сеточные аналоги норм.

Построение разностных схем. Порядок аппроксимации.

Метод прогонки.

Методы расщепления.

Методы конструирования граничных условий

Список использованной литературы

Основные понятия метода конечных разностей.

Для приближённого решения краевых задач теплопроводности широко применяется метод конечных разностей (метод сеток). Идея метода состоит в следующем.

Область непрерывного изменения аргументов заменяется расчетной сеткой – дискретным множеством точек (узлов). Вместо функции непрерывных аргументов вводятся функции дискретных аргументов – сеточные функции, определяемые в узлах сетки. Частные производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются (аппроксимируются) разностными соотношениями.

Если рассматривать функцию целочисленного аргумента , где то можно образовать разности в точке первого порядка:

правую:

левую:

Обозначив получим , .

Тогда для разности второго порядка имеем:

Аналогично определяется разность го порядка:

В результате такой замены краевая задача в частных производных сводится к системе разностных уравнений, называемых ещё разностной схемой.

Если решение системы разностных уравнений существует и при измельчении сетки стремится к решению поставленной задачи (т.е. сходится), то это решение и является искомым приближённым решением краевой задачи. Несмотря на то что число неизвестных в этой системе алгебраических уравнений весьма значительно, решение её с точки зрения математических трудностей более просто, чем исходной задачи.

Построение сетки. Сеточные функции и сеточные аналоги норм.

Итак, заменим область непрерывного изменения аргументов искомой функции некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области. Это множество назовём разностной сеткой, сами точки – узлами сетки, а функции, определённые тем или иным способом на этой сетке, - сеточными функциями.

Расположение узлов сетки в области может быть произвольным и определяется спецификой решаемой задачи.

Рассмотрим примеры сеток:

1. В простейшем случае одномерной задачи можно ввести равномерную сетку. Для этого отрезок разобьём на равных частей точками , (рис. 1.1). Расстояние между узлами называется шагом сетки. Так как в рассматриваемом случае , то множество узлов представляет собой равномерную сетку на отрезке и обозначается Если отрезок разбит на частей произвольно взятыми точками, то получим неравномерную сетку с шагом , зависящим от номера и .

2. Сетка на плоскости. Пусть - прямоугольник. Отрезки и разобьём соответственно на и частей и через точки , , , проведём прямые, параллельные координатным осям. Множество точек образует сетку в прямоугольнике . Полученная сетка равномерна по каждой переменной. Если , тот сетка называется прямоугольной, в противном случае – квадратной. Если построить сетку неравномерной хотя бы по одной координате, то полученная сетка будет называться неравномерной. На рис. (1.2) дан пример прямоугольной сетки.

3. Приведём пример неравномерной изометрической сетки на плоскости. Область представляющую собой кольцо, покроем окружностями

где

и лучами где Множество узлов

и представляет собой сетку в рассматриваемой области

По аналогии с разностной сеткой для пространственных областей вводится сетка по временной переменной . В общем случае эта сетка может быть неравномерной и тогда - шаг сетки - зависит от номера шага. Узлы сетки определяются точками