,

определённого на множестве непрерывных в области функций, имеющих ограниченные производные до третьего порядка включительно. Пусть - равномерная сетка на отрезке . Тогда наиболее естественный способ замены производной основывается на определении производной как предела

.

Если зафиксировать в этом равенстве, то получим приближённую формулу для первой производной через конечные разности

.

Или в - м узле имеем правое разностное отношение

. (1)

Аналогично вводится левое разностное отношение

. (2)

Можно рассматривать и линейную комбинацию левого и правого разностных отношений

, (3)

где - любое вещественное число. При получим центральное разностное отношение

. (4)

При замене оператора разностными выражениями (1) – (4) допускается погрешность , называемая погрешностью аппроксимации оператора разностными оператором в точке .

Разностный оператор аппроксимирует дифференциальный оператор с порядком в точке , если

Факт аппроксимации в точке называют часто локальной аппроксимацией.

При решении задач теплопроводности необходимо уметь аппроксимировать и вторую производную

.

В отличие от первой производной, для аппроксимации которой достаточно двухточечного шаблона, для второй производной выберем трёх точечный шаблон . Тогда в - м узле получим разностный оператор

.

Пользуясь разложением в ряд Тейлора функции , получим, что порядок аппроксимации в этом случае равен двум.

В соответствии с этим можно рассмотреть две различные аппроксимации оператора в области (5)

; (6)

(7)

на шаблонах. Погрешность локальной аппроксимации оператора (5) разностными операторами (6) и (7) будет соответственно равна

.

Разностная схема называется явной (а) если в каждом уравнении системы содержится только одно значение функции на следующем слое. Это значение явно выражено через известные значения функции на данном слое.

Разностная схема называется неявной (б) если в каждом уравнении системы содержится несколько неизвестных значений функции на новом слое.

Метод прогонки.

Системе уравнений для определения разностного решения на - слое решается обычно методом прогонки. Рассмотрим метод прогонки на примере решения краевой задачи

, , , (8)

, , (9) .

Неявная разностная схема может быть представлена в виде:

; (10)

; ;

(11)

. (12)

При заданном начальном условии (12) для нахождения решения разностной схемы (10) – (12) на следующем слое нужно решить систему трёх точечных разностных уравнений (10) при граничном условии (11) и фиксированном значении параметра .

Специфика системы уравнений (10) заключается в том, что каждое -е уравнение содержит только три неизвестных: . Это и даёт возможность провести последовательное исключение следующим образом. Значение задано граничным условием (11). Поэтому уравнение (10) при содержит фактически лишь два неизвестных и . С помощью этого уравнения, при , исключаем и получаем соотношение между и и т. д. Пусть связь между и известна: