. (14)

Подставляя это выражение в - е уравнение (10), разрешим его относительно и получим

.

Запишем это соотношение в виде (14), положив

, (15)

Формулы (15) позволяют перейти от , к , при любом . Так как , то соответствии с (14) следует положить , и по рекурентным формулам (15) вычислить все , до , включительно. Поскольку нам известно из граничного условия (11) и равно , по формуле (14) находим все от до .

Таким образом, процесс решения системы линейных уравнений (10), (12) сводится к прямой «прогонке» коэффициентов и обратной прогонке по формуле (14) при заданном граничном условии (12) значении . Главное достоинство метода – его высокая экономичность. Рассмотренный метод является методом скалярной прогонки. При решении много мерных задач неявные схемы приводят к методу матричной прогонки. В этом методе в уравнении (14) , , - векторы, - матрица. Метод матричной прогонки используется крайне редко из-за его колоссальной трудоёмкости.

Методы расщепления.

Для решения многомерных задач теплопроводности пользуются локально-одномерными схемами или, что то же самое, методами расщепления. Рассмотрим - мерное уравнение анизотропной теплопроводности:

; ; . (16)

Если ввести промежуточных слоёв и на каждом слое составить схему, неявную по одному из направлений и явную по остальных, то окажется, что построенная схема обладает двумя нежелательными свойствами. Во-первых, схема условно устойчива и, следовательно, неэкономична. Во-вторых, она в силу своей несимметричности имеет лишь первый порядок аппроксимации по времени. Можно непосредственно построить симметричную неявную схему для уравнения (16)

, (17)

где разностные операторы можно аппроксимировать формулами типа

, (18)

. (19)

имеющими второй порядок аппроксимации по пространственным координатам. Несмотря на то что схема (17) в этом случае имеет погрешность аппроксимации , применение этой схемы нецелесообразно, так как она неэкономична.

Изложим идею метода расщепления. Пусть требуется найти решение задачи Коши для уравнения (16) на интервале времени . Предположим, что значения температуры известны на слое и надо определить функцию температуры на временном слое . Введём число промежуточных временных слоёв, равное размерности уравнения (17) по пространству. На каждом слое заменим в правой части уравнения (17) на и в левой части выберем шаг . Решение соответствующих разностных задач на промежуточных слоях обозначим через . Тогда вместо решения задачи (17) приходим к последовательному решению системы уравнений вида

; (20)

. (21)

Разностные уравнения (20) – одномерные, так как операторы одномерны. Поэтому схему (20), (21) называют ещё локально-одномерной. Каждое разностное уравнение представляет собой неявную симметричную схему. Значит, учитывая устойчивость схемы, можно заключить, что схема (20), (21) безусловно устойчива, так как ошибка начальных данных не будет возрастать при переходе со слоя на слой. Для решения уравнений (20) применяется метод прогонки, причём выполняются условия устойчивости прогонки, поэтому разностное решение существует и единственно.

Локально-одномерную схему можно построить и для уравнения с переменными коэффициентами

(22)

где

. (23)